נוסחת אוילר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

נוסחת אוילר היא נוסחה יסודית באנליזה מרוכבת, הקושרת את הפונקציה המעריכית הטבעית לפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס. הנוסחה נקראת על-שמו של לאונרד אוילר, ואפשר להסיק ממנה את נוסחת דה-מואבר.

הנוסחה קובעת כי: $\!\, e^{i \theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta}$ לכל $\ \theta$ ממשי, כאשר i היא היחידה המרוכבת.

יש כמה דרכים להבין שוויון זה. באופן פשטני אפשר לראות בו הגדרה של הפונקציה המעריכית עבור ערכים מרוכבים-טהורים (במונחי הפונקציות הטריגונומטריות הממשיות). אם מניחים שהתכונה $\ e^{x+y}=e^x \cdot e^y$ , הידועה ממספרים ממשיים, חלה גם כאן, אז אפשר לקבל מן ההגדרה הזו הגדרה מלאה לפונקציה המעריכית לכל מספר מרוכב: $\ e^{x+iy}=e^x(\cos(y)+i \sin(y))$ . לפי גישה זו אין אפשרות להוכיח את הנוסחה: אגף ימין שלה מגדיר את אגף שמאל, ותו לא.

גישה אחרת מגדירה את הפונקציה המעריכית (עבור מספרים מרוכבים) על-פי התכונות שלה. למשל, זוהי הפונקציה השלמה היחידה המסכימה עם הפונקציה המעריכית הממשית עבור ערכים ממשיים (משפטים כללים על פונקציות מרוכבות מבטיחים ששתי פונציות שלמות המסכימות זו עם זו בערכים ממשיים - חייבות להתלכד). מהגדרה זו נובע שהפונקציה המעריכית, אותה אפשר להגדיר במספרים ממשיים על-ידי טור טיילור שלה, $\ e^x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ , מקיימת את אותה זהות ממש גם כאשר x מרוכב. בפרט, אם נציב $\ x=iy$ עם y ממשי, נקבל $\ e^{iy}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^ny^n}{n!}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}y^{2m}}{(2m)!}+i \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}y^{2m+1}}{(2m+1)!}=\cos(y)+i\sin(y)$ לפי-הפיתוח של הפונקציות הטריגונומטריות לטורי טיילור (בערכים ממשיים). זוהי הוכחה לנוסחת אוילר.

הוכחה אחרת אפשר לקבל מנוסחת דה-מואבר, אם מגדירים את הפונקציה המעריכית (בערכים מרוכבים) לפי הזהות $\ e^z = \lim_{n \to \infty}{\left(1 + {z\over n}\right) ^n}$ . ומשתמשים בקירובים $\ \cos\alpha \approx 1$ ו- $\ \sin\alpha \approx \alpha$ (הנכונים לזוויות קטנות). כאשר n גדל לאינסוף, $\ \cos(\theta)+i\sin(\theta) = (\cos(\frac{\theta}{n})+i \sin(\frac{\theta}{n}))^n \approx (1 + \frac{i \theta}{n})^n \rightarrow e^{i \theta}$ .

[עריכה] זהות אוילר

כאשר מציבים בנוסחה את $π$ כערכה של הזווית $θ$ , מתקבל: $\!\, e^{i \pi} = -1$ או $\!\, e^{i \pi} + 1 = 0$ , תוצאה הקרויה זהות אוילר ומקשרת בצורה פשוטה בין 5 קבועים מתמטיים בסיסיים.