משפט קיילי
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בתורת החבורות, משפט קיילי הקרוי על שם המתמטיקאי ארתור קיילי אומר כי המבנה של כל חבורה זהה למבנה של תת חבורה כלשהי של החבורה הסימטרית - חבורת התמורות. משפט זה יוצר דמיון בין כל החבורות הקיימות, על ידי כך שהוא מראה כי ניתן לחשוב על כל חבורה כעל אוסף תמורות מעל קבוצה מסוימת, וכך משפטים שנכונים עבור חבורות של תמורות יהיו נכונים עבור כל חבורה באופן כללי.
[עריכה] ניסוח פורמלי
כל חבורה מסדר 
ניתנת לשיכון ב-
, כלומר היא איזומורפית לתת חבורה של (למעשה ההוכחה מראה שאפשר לשכן את G כתת-חבורה טרנזיטיבית של החבורה הסימטרית.
למשפט זה ישנה הכללה חשובה, הידועה בשם העידון של משפט קיילי: אם ל- G יש תת-חבורה H מאינדקס n, אז יש העתקה 
שהגרעין שלה מוכל ב- H. נובע מזה שלחבורה עם תת-חבורה מאינדקס n מוכרחה להיות תת חבורה נורמלית מאינדקס המחלק את 
. בפרט: לחבורה פשוטה מסדר שאינו מחלק את , אין תת-חבורות מאינדקס קטן מ- n.
[עריכה] דוגמה
נבחר את החבורה 
ונשכן אותה ב
,כלומר נמצא תת חבורה של שאיזומורפית ל-
.
נגדיר העתקה 
.
התמורות שהגדרנו אינן מקריות, בנינו אותן כך שמספר בשורה העליונה עובר לסכום שלו ועוד המספר משמאל. לדוגמה בתמורה השנייה המספר 0 עובר ל-0+1=1.
לכן, השורות התחתונות של התמורות הן לוח החיבור של החבורה 
.
שימו לב לכך שההעתקה 
היא הומומורפיזם, לדוגמה:
.
[עריכה] הוכחה
תהא חבורה סופית מסדר 
.
בתמורות, אין חשיבות לקבוצה שעליה אנו מדברים וברור ש-
.
בדומה למה שעשינו בדוגמה, נגדיר העתקה 
באופן הבא:
(א) נסדר את איברי בסדר כלשהו 
(ב) לכל 
נראה: (1) 
, כלומר 
תמורה.
מכיוון ש- סופית מספיק להראות ש- העתקה חד-חד ערכית מ- ל-.
נניח 
.
.
.
.
.
(2) מוגדרת היטב.
.
.
.
.
(3) הומומורפיזם.
יהיו 
.
.
.
מש"ל
