Satz von Cayley

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Der Satz von Cayley ist ein nach dem englischen Mathematiker Arthur Cayley benannter Satz aus der Algebra. Er besagt, dass man jede Gruppe als Permutationsgruppe realisieren kann, und liefert ein Beispiel einer Operation einer Gruppe auf sich.

Formal lautet der Satz:

Sei (G, * ) eine Gruppe. Dann existiert eine Menge M und eine Untergruppe U der symmetrischen Gruppe Sym(M), so dass (G, * ) zu isomorph ist.

Ist G endlich, so kann M endlich gewählt werden.

Kürzer und einprägsamer formuliert:

Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe.

Die Menge Sym(M) besteht aus allen bijektiven Funktionen von der Menge M nach M. Diese Menge bildet mit der Hintereinanderausführung

eine Gruppe, die symmetrische Gruppe.

[Bearbeiten] Beweis des Satzes von Cayley

Setze M:=G. Für jedes Gruppenelement g definieren wir eine Abbildung von G nach G:

Diese Abbildung heißt "Linksmultiplikation mit g". Da G eine Gruppe ist, ist bijektiv: Wegen ist sie surjektiv und wegen ist sie injektiv.

Jede dieser Linksmultiplikationen ist also eine bijektive Funktion von G nach G und die Menge

ist eine Teilmenge von Sym(G).

Nun zeigen wir, dass diese Menge U eine Untergruppe von Sym(G) ist, die zu G isomorph ist.

Dazu definieren wir eine Abbildung T, die jedem Element von G die Linksmultiplikation mit ihm zuordnet:

und beweisen, dass T ein bijektiver Gruppenhomomorphismus ist.

Offenbar ist T surjektiv. Wegen

für alle ist U = T(G) eine Untergruppe von Sym(G) und T ein Gruppenhomomorphismus.

Seien e das Einselement und f, g beliebige Elemente von G mit T(f) = T(g). Dann folgt , und somit:

.

Damit ist T injektiv und nach Definition surjektiv, also bijektiv.

Also ist die Bildmenge U eine Untergruppe von Sym(G), die zu G isomorph ist.

Q.e.d.

Der Homomorphismus T ist eine Operation von G auf sich, die auch als

geschrieben werden kann. Man sagt hier: G operiert per Linksmultiplikation auf sich.

Der Beweis lässt sich analog führen, wenn man statt der Linksmultiplikation die Rechtsmultiplikation verwendet. Er liefert dann unter Umständen eine andere Untergruppe von Sym(G), die aber ebenfalls isomorph zu G ist.

[Bearbeiten] Verwendung

Der Satz von Cayley erlaubt es, die Theorie der Permutationsgruppen auf jede Gruppe anzuwenden.

Neben dem Satz von Cayley gibt es noch andere Möglichkeiten, Gruppen in spezieller Form darzustellen, z.B. als Untergruppe einer Matrixgruppe (eine lineare Darstellung). Siehe dazu den Artikel Darstellungstheorie.

Anstelle der im Beweis verwendeten Menge M=G kann man oft auch kleinere Mengen verwenden. Zum Beispiel liefert der Beweis eine Darstellung der alternierenden Gruppe A₄ mit 12 Elementen als Untergruppe der S₁₂, obwohl die Menge {1,2,3,4} als Grundmenge M ausreichen würde.