פעולה טרנזיטיבית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בתורת החבורות, פעולה טרנזיטיבית היא סוג מיוחד של פעולה של חבורה על קבוצה. נניח שהחבורה G פועלת על הקבוצה X. אם לכל שתי נקודות $\ x,y\in X$ קיים איבר $\ g\in G$ המעביר את x ל- y, אז הפעולה היא פעולה טרנזיטיבית.

במקרים רבים לקבוצה X יש מבנה נוסף (כגון - גרף או מטריקה). עצם הקיום של חבורה G הפועלת על X באופן טרנזיטיבי (ושומרת על המבנה) מראה שכל הנקודות של X דומות זו לזו; במקרה כזה אומרים ש- X מרחב הומוגני.

[עריכה] טרנזיטיביות מסדר גבוה

כאשר החבורה G פועלת על קבוצה X, היא פועלת מניה וביה גם על המכפלה הקרטזית של X עם עצמה, ובאופן כללי יותר על כל חזקה של X. הפעולה מוגדרת לפי $\ g(x_1,\dots,x_k)=(g(x_1),\dots,g(x_k))$ , כלומר פעולה על כל רכיב בנפרד. גם אם מוציאים מהחזקה $\ X^k$ את האלכסון המוכלל ומשאירים רק את הקבוצה $\ X^{[k]}$ של הווקטורים באורך k שכל רכיביהם שונים זה מזה, קבוצה זו עדיין מצויידת בפעולה של G, המכלילה את פעולתה על הרכיבים.

אם G פועלת באופן טרנזיטיבי על $\ X^{[k]}$ , אז הפעולה שלה על X היא פעולה k-טרנזיטיבית. ניסוח אחר: G פועלת k-טרנזיטיבית על X, אם לכל $\ x_1,\dots,x_k$ שונים זה מזה, ולכל $\ y_1,\dots,y_k$ שונים זה מזה, קיים איבר של החבורה המעביר $\ g(x_i)=y_i$ . כמובן שפעולה 3-טרנזיטיבית היא תכונה חזקה יותר מפעולה 2-טרנזיטיבית, וכן הלאה.

לדוגמה, הפעולה של החבורה הסימטרית $\ S_n$ על הקבוצה $\ \{1,\dots,n\}$ היא פעולה n-טרנזיטיבית, בעוד שהפעולה של חבורת התמורות הזוגיות $\ A_n$ על אותה קבוצה היא (n-2)-טרנזיטיבית.

מתברר שפעולה נאמנה בעלת סדר טרנזיטיביות גבוה היא תופעה נדירה למדי בין תת-החבורות של $\ S_n$ . פרט לחבורות $\ S_n$ ו- $\ A_n$ , רק חמש חבורות מתיו הן 4-טרנזיטיביות או 5-טרנזיטיביות, ואין אף חבורה אחת שהיא 6-טרנזיטיבית.

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%A4/%D7%A2/%D7%95/%D7%A4%D7%A2%D7%95%D7%9C%D7%94_%D7%98%D7%A8%D7%A0%D7%96%D7%99%D7%98%D7%99%D7%91%D7%99%D7%AA.html

קטגוריה: תורת החבורות

פעולה טרנזיטיבית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

[עריכה] טרנזיטיביות מסדר גבוה

Views

ניווט

קהילה

חיפוש