משפט אוריסון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בטופולוגיה, מרחבים מטריים עומדים בראש הפירמידה של המרחבים הטופולוגיים, כמעט בכל היבט של התאוריה. משפט אוריסון, הידוע גם כמשפט המטריזביליזציה, אומר שמרחבים טופולוגיים המקיימים שתי תכונות חזקות במיוחד, הם בעצם מרחבים מטריים:

כל מרחב T3 המקיים את אקסיומת המניה השניה הוא מטריזבילי. כלומר: קיימת מטריקה שמשרה את הטופולוגיה הנתונה של המרחב, ולכן המרחב הוא מבחינה מעשית מרחב מטרי ספרבילי.

באופן כללי יותר, המשפט (עם אותה הוכחה) מראה שכל מרחב רגולרי המקיים את אקסיומת המניה השנייה הוא מרחב סמי-מטרי.

מעבר לזה, המשפט מראה שמרחבי T3 (ובפרט, מרחבי האוסדורף קומפקטיים) בעלי בסיס בן מניה הם תת-מרחבים של מרחב הסדרות $\ \ell_2$ , ובכך הוא מבסס את המרכזיות של המרחב האחרון בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית.

[עריכה] הוכחה

[עריכה] סכמת ההוכחה

בשלב הראשון מראים שמרחב T3 המקיים את אקסיומת המניה השנייה הוא מרחב T4.
בשלב השני מראים שמרחב נורמלי המקיים את אקסיומת המניה השנייה הוא מטריזבילי. עושים זאת על ידי שיכון הומיאומורפי ממרחב זה לתת-מרחב של המרחב המטרי $\ \ell_2$ (זהו מרחב הילברט), כאשר הבנייה נעשית באמצעות פונקציות אוריסון.
מוכיחים שפונקציית השיכון היא רציפה ופתוחה.

[עריכה] בניית השיכון

המרחב שלנו מקיים את תכונת המניה השניה, ולכן יש לטופולוגיה שלו בסיס בן מניה. כל נקודה $\ x$ במרחב X שייכת לאיבר של הבסיס, $\ x \in B_i$ . בנוסף לזה, בגלל הרגולריות, קיים איבר בסיס $\ B_j$ כך ש $\ x \in B_j \subset \overline{B_j} \subset B_i$ . לפי הלמה של אוריסון (למרחבים נורמליים), קיימת פונקציית אוריסון $\ f_{ij} : X \to [0,1]$ כך ש $\ f_{ij}(\overline{B_j}) = 0$ ו $\ f_{ij}((B_i)^c) = 1$ . את הפונקציות $\ f_{ij}$ אפשר לסדר, ולסמן $\ \{ g_n \}_{n=1}^{\infty}$ , לשם הפשטות.

כעת נגדיר $\ G : X \to \ell_2$ באמצעות הנוסחה $\ \forall x \in X : G(x) = \left( \frac{g_1(x)}{1} , \frac{g_2(x)}{2} , \cdots , \frac{g_n(x)}{n} , \cdots \right)$ . פונקציה זו היא ההומאומורפיזם המבוקש.

[עריכה] בדיקות לגבי G

נותר להוכיח ש:

הפונקציה G מוגדרת היטב.
הפונקציה G היא חח"ע.
הפונקציה G רציפה.
הפונקציה G פתוחה.

1) הפונקציה G מוגדרת היטב שכן לכל x,

$\ \| G(x) \| = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{g_n(x)}{n^2}} \leq \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}} = \frac{\pi ^2}{6} < \infty$ ,

ולכן $\ \forall x \in X \ : \ G(x) \in l_2$ . מכאן ש G מוגדרת היטב.

2) הפונקציה G היא חח"ע כי אם $\ x \ne y$ אזי קיימות קבוצות בסיס זרות כך ש $\ x \in B_j \ , \ y \in B_i$ (כי מרחב $\ T_3$ הוא בפרט מרחב האוסדורף) ולכן $\ x \in B_j \subset \overline{B_j} \subset (B_i)^c$ . עליהן אפשר לבנות פונקציית אוריסון $\ g_n = f_ij$ שעבורה בבירור מתקיים ש $\ g(x) = 0 \ , \ g(y) = 1$ . לכן, $\ \| G(x) - G(y) \| \ge \frac{1}{n^2} > 0$ , כלומר, $\ G(x) \ne G(y)$ ולכן G חח"ע.

3) נוכיח ש G רציפה. תהי $\ \| G(x) - G(x_0) \| < \varepsilon$ קבוצה פתוחה בטווח. נמצא קבוצה פתוחה V ב X שעבור כל איבר בה השוויון יתקיים. ניקח n מספיק גדול כך ש $\sum_{k=n+1}^{\infty} < 0.5 \varepsilon$ . כמו כן, לכל רכיב k=1,..,n נדרוש ש $\ | g_k(x) - g_k(x_0) | < \frac{k}{\sqrt{2n}} \varepsilon$ . מאחר ש g_k רציפות, קיימות סביבות V_k שבהן כל פונקציה מקיימת דרישה זאת. נגדיר $\ V = V_1 \cap \cdots \cap V_n$ (זוהי קבוצה פתוחה כחיתוך סופי של קבוצות פתוחות) ובסביבה זו ברור שמתקיימות כל הדרישות הללו. לכן:

$\ \forall x \in V \ : \ \| G(x) - G(x_0) \| \le | \sum_{k=1}^{n}{\frac{ | g_k (x) - g_k (x_0) |^2}{k^2}} + \sum_{k=n+1}^{\infty}{\frac{ | g_k (x) - g_k (x_0) |^2}{k^2}} <$