פנים (טופולוגיה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בטופולוגיה, הפְּנים של קבוצה הוא אינטואיטיבית אוסף הנקודות שנמצאות "בתוך" הקבוצה ולא על השפה שלה. נהוג לסמן את הפנים של קבוצה $\ A$ ב- $\ \mbox{Int}(A)$ או ב- $\ A^{\circ}$ .

[עריכה] הגדרה פורמלית

ישנן כמה דרכים שקולות להגדיר את הפנים של קבוצה:

תהא $\ A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה, $\ \mbox{Int}(A)$ , בתור קבוצת כל הנקודות $\ x\isin A$ כך שקיימת קבוצה פתוחה $\ B$ כך ש $\ x\isin B\subseteq A$ - כלומר, הקבוצה $\ A$ מכילה סביבה של $\ x$ .

תהא $\ A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה בתור הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר שמוכלת ב $\ A$ . על פי הגדרה זו, הפנים הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב- $\ A$ .

תהא $\ A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה באמצעות הנוסחה הבאה המערבת משלים וסגור: $\ \mbox{Int}(A) = ( \overline{A^c} )^c$ .

[עריכה] דוגמה

נחשב את הפנים של הקטע הסגור $\ [0,1]$ בישר הממשי.

$\ [0,1]^c = (\infty,0) \cup (1,\infty)$

$\ \overline{[0,1]^c} = (\infty,0] \cup[(1,\infty)$

$\ (\overline{[0,1]^c})^c = (0,1)$

ולכן הפנים של $\ [0,1]$ הוא הקטע הפתוח $\ (0,1)$ .

[עריכה] תכונות הפנים

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הסגור.

כל קבוצה פתוחה שווה לפנים שלה: $\ A=\mbox{Int}(A)$ . בפרט הפנים הוא קבוצה פתוחה ולכן $\ \mbox{Int}(A)=\mbox{Int}\left(\mbox{Int}(A)\right)$ .
$\ A\subseteq B \rArr \mbox{Int}(A)\subseteq \mbox{Int}(B)$
$\ \mbox{Int}(A)\cup \mbox{Int}(B)\subseteq \mbox{Int}\left(A\cup B\right)$
$\ \mbox{Int}\left(A\cap B\right)= \mbox{Int}(A)\cap \mbox{Int}(B)$