השערת רימן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

השערת רימן היא מהבעיות הפתוחות הבולטות ביותר בתורת המספרים ובמתמטיקה בכלל. את ההשערה העלה בשנת 1859 המתמטיקאי ברנרד רימן, מגדולי המתמטיקאים של אותה עת. רימן עסק בבעיה בעצמו עד למותו שבע שנים מאוחר יותר, אך לא הצליח להוכיחה. להשערת רימן קשר עמוק להתפלגות של המספרים הראשוניים.

[עריכה] המתמטיקה של השערת רימן

פונקציית זטא של רימן היא פונקציה מרוכבת המוגדרת עבור מספרים מרוכבים s בעלי חלק ממשי גדול מ- 1 על-ידי $\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}$ . לפונקציה זו קיימת המשכה אנליטית יחידה, ההופכת אותה לפונקציה מרומורפית עם קוטב פשוט בנקודה s=1, ואפסים פשוטים בנקודות $\ s=-2,-4,-6,\dots$ . אפסים אלו נקראים "האפסים הטריוויאליים", משום שהם נובעים מיד מן הנוסחה להמשכה האנליטית של הפונקציה.

השערת רימן עוסקת באפסים של פונקציית זטא, למעט אלה שבערכים השליליים הזוגיים. ההשערה קובעת שכולם נמצאים על הישר $\ Re(z)=\frac{1}{2}$ .

רימן פרסם את השערתו במאמרו העוסק בהתפלגות המספרים הראשוניים, ולהשערה קשר עמוק להתפלגות זו. בשנת 1896 הוכיחו ז'אק הדמר ושארל דה לה ואלה פוסן, כל אחד מהם באופן עצמאי, שלפונקציה אין אפסים על הישר $\, Re(z)=1$ , ולכן על כל האפסים להימצא ב"רצועה הקריטית" $\, 0< Re(z) < 1$ . בשנת 1900 כלל המתמטיקאי הנודע דויד הילברט את השערת רימן ברשימת 23 הבעיות שלו, רשימה שהיוותה אתגר למתמטיקאים במהלך המאה ה-20, ואחדות מהבעיות שבה עודן מחכות לפתרון. הוא אמר אודות הבעיה: "אם אתעורר לאחר שינה בת אלף שנה, שאלתי הראשונה תהיה: האם הוכיחו כבר את השערת רימן?".

הלגה פון קוך הוכיח ב-1901 כי השערת רימן שקולה לגרסה החזקה הבאה של משפט המספרים הראשוניים: $\pi(x)=\int_2^x \frac{dt}{\ln{t}} + O(\sqrt{x}\ln{x})$ כאשר $x\to\infty$ .

פונקציית זטא של דדקינד עבור שדה מספרים $\,K$ היא ההמשכה האנליטית של $\zeta_K(s)=\sum_{I\sub\mathcal O_K}\big(N^K_{\Bbb Q}(I)\big)^{-s}$ , כאשר $\,I$ עובר על האידאלים של חוג השלמים $\mathcal O_K$ , ו- $N^K_{\Bbb Q}(I)=|\mathcal O_K : I|$ , הנורמה של $\,I$ . אם $\,K$ הוא שדה המספרים הרציונליים, מתקבלת פונקציית זטא של רימן. גם במקרה הכללי, הטור המתאר את פונקציית זטא מתכנס עבור $\ Re(s)>1$ , וקיימת עבורו המשכה לפונקציה מרומורפית בכל המישור המרוכב, עם קוטב פשוט יחיד ב- $\ s=1$ .

השערת רימן המוכללת גורסת כי לכל שדה מספרים $\,K$ , האפסים של פונקציית זטא של דדקינד המתאימה מקיימים $Re(s)=\frac12$ .

[עריכה] פרס קליי

בשנת 2000 הכריז מכון קליי למתמטיקה, הנמצא בקיימברידג', מסצ'וסטס, על פרס בסך מיליון דולר שיינתן לראשון שיפתור אחת משבע בעיות מתמטיות מרכזיות. אחת משבע בעיות אלה היא השערת רימן, והפרס יינתן למי שיוכיח את נכונותה. הפרכת הטענה, אף שגם היא מהווה פתרון של הבעיה, אינה מזכה בפרס. הסבר אפשרי להבחנה זו טעון בעובדה שאם הטענה אינה נכונה, ניתן להפריכה באמצעות תוכנית מחשב שתמצא דוגמה שבה הטענה אינה מתקיימת, ואילו אם הטענה נכונה, רק גאונות אנושית תצליח להוכיחה.