Intérieur (topologie)
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En topologie, l'intérieur d'un ensemble est constitué des points qui, de façon intuitive, ne sont pas « situés au bord » de cet ensemble. La notion d'intérieur est en quelque sorte le dual de celle d'adhérence.
Sommaire |
[modifier] Définitions
[modifier] Point intérieur
Soit X un espace topologique et a un point de X. a est un point intérieur à X s'il existe un voisinage de a contenu dans X.
[modifier] Interieur d'un ensemble
L'intérieur d'un ensemble topologique X est l'ensemble de tous les points intérieurs de X. Il est généralement noté int(X), Int(X) ou X'o.
[modifier] Propriétés
- int(X) est un sous-ensemble ouvert de X.
- int(X) est l'union de tous les ouverts contenus dans X.
- int(X) est le plus grand ouvert contenu dans X.
- int(X) est inclus dans X.
- Un ensemble X est ouvert si et seulement si X = int(X).
- int(int(X)) = int(X) (idempotence).
- Si X est un sous-ensemble de Y, alors int(X) est un sous-ensemble de int(Y).
- Si A est un ouvert, alors A est un sous-ensemble de X si et seulement si A est un sous-ensemble de int(X).
Les deuxième et troisième propriétés ci-dessus sont parfois utilisées comme définition de l'intérieur d'un ensemble.
[modifier] Exemples
- Dans n'importe quel espace topologique, l'intérieur de l'ensemble vide est l'ensemble vide.
- Si X est l'espace euclidien R des nombres réels muni de la topologie usuelle :
- int([0, 1]) = ]0, 1[ ;
- l'intérieur de l'ensemble Q des nombres rationnels est vide.
- Si X est l'espace des nombres complexes, alors int({z ∊ C / |z| ≥ 1}) = {z ∊ C / |z| > 1}.
- Dans tout espace euclidien, l'intérieur d'un ensemble fini est l'ensemble vide.
L'intérieur d'un ensemble dépend de la topologie utilisée. Dans le cas de R :
- Si on utilise la topologie de la limite inférieure, int([0, 1]) = [0, 1).
- Si tout ensemble est ouvert, int([0, 1]) = [0, 1].
- Si les seuls ouverts sont R et l'ensemble vide, int([0, 1]) est l'ensemble vide.
De façon générale :
- Dans une topologie discrète où tout ensemble est ouvert, tout ensemble est son propre intérieur.
- Dans une topologie grossière où les seuls ouverts de X sont X et l'ensemble vide, int(X) = X et l'intérieur de tout sous-ensemble propre de X est l'ensemble vide.
