Topologie grossière

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En mathématiques, la topologie grossière (ou topologie triviale) associée à un ensemble est une topologie où les seuls ouverts sont l'ensemble vide et l'espace lui-même.

Cette topologie est en un sens la moins fine de toutes les topologies qu'il est possible de définir sur un ensemble. Intuitivement, tous les points de l'espace topologique ainsi créé sont « groupés ensemble » et ne peuvent pas être distingués du point de vue topologique.

[modifier] Définition

Soit X un ensemble. L'ensemble {X, Ø} définit une topologie sur X appelée topologie grossière.

[modifier] Propriétés

La topologie grossière est la topologie possédant le moins d'ouverts qu'il soit possible de définir sur un ensemble X, la définition d'une topologie supposant précisément que X et l'ensemble vide font partie de ces ouverts.

Parmi les autres propriétés d'un tel espace topologique X :

Les seuls fermés sont l'ensemble vide et X.
La seule base de X possible est {X}.
Si X est non vide, ce n'est pas un espace de Kolmogorov, ni un espace de Hausdorff.
X est en revanche régulier, complètement régulier, normal et complètement normal.
N'étant pas de Hausdorff, X n'est ni une topologie d'ordre, ni métrisable.
X est compact et donc paracompact, de Lindelöf et localement compact.
Toute fonction dont l'ensemble de définition est un espace topologique et l'ensemble d'arrivée X est continue.
X est connexe.
Tout point de X admet une base dénombrable, X est à base dénombrable et séparable.
Tout sous-espace de X possède la topologie grossière.
Tout espace quotient de X possède la topologie grossière.
Tout espace produit d'espace topologiquement grossiers, muni de la topologie produit ou de la topologie des boîtes, possède la topologie grossière.
Toute suite de X converge vers tout point de X. En particulier, toute suite possède une sous-suite convergente (la suite elle-même) et X est donc séquentiellement compact.
L'intérieur de tout sous-ensemble de X, à l'exception de X lui-même, est vide.
L'adhérence de tout sous-ensemble non-vide de X est X. Tout sous-ensemble non-vide de X est donc dense dans X, une propriété qui caractérise les espaces topologiquement grossiers.
Si S est un sous-ensemble de X ayant au moins deux points, tout élément de X est un point d'accumulation de S. Si S est formé d'un seul point, ses points d'accumulation sont exactement les autres points de X.
X est un espace de Baire.
Deux espaces grossièrement topologiques sont homéomorphes si et seulement s'ils ont même cardinalité.