Entier sans facteur carré

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En mathématiques, un entier naturel sans facteur carré est un entier divisible par aucun carré parfait, excepté 1. Par exemple, 10 est sans facteur carré mais 18 ne l'est pas, comme il est divisible par $9 = 3^2\,$ . Les petits nombres sans facteur carré sont 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, ...

[modifier] Caractérisation équivalente des nombres sans facteur carré

L'entier n est sans facteur carré si et seulement si dans la décomposition en facteurs premiers de n, aucun nombre premier n'apparaît plus d'une fois. Un autre point de vue équivalent est que pour chaque diviseur premier p de n, le nombre premier p ne divise pas $\frac{n}{p}\,$ . Une autre formulation est la suivante : n est sans facteur carré si et seulement si dans chaque décomposition n=ab, les facteurs a et b sont premiers entre eux.

Pour tout nombre premier p, la valuation p-adique de l'entier n est au plus égale à 1. On dit aussi parfois qu'un tel nombre est quadratfrei. On rappelle que pour tout nombre premier $p$ et tout entier naturel $n$ , la valuation $p$ -adique de $n$ (parfois notée $ν p (n)$ ) est égale, par définition, à l'exposant de $p$ dans la décomposition de $n$ en produit de nombres premiers.

Ainsi, si $n=\Pi_{k=1...s}(p_k^{\alpha_k})$ , on a $\nu_{p_k}(n)=\alpha_k$ , et $n$ est quadratfrei équivaut à $\forall p\in\mathcal P,\nu_p(n)\in \{ 0, 1 \}$ .

L'entier naturel n est sans facteur carré si et seulement si $\mu(n) \ne 0\,$ , où $\mu\,$ représente la fonction de Möbius.

L'entier naturel n est sans facteur carré si et seulement si tous les groupes abéliens d'ordre n sont isomorphes, ce qui est le cas si et seulement si tous sont cyclique. Ceci découle de la classification des groupes abéliens finis engendrés.

L'entier naturel n est sans facteur carré si et seulement si l'anneau factoriel $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\,$ (voir arithmétique modulaire) est un produit de corps. Ceci découle du théorème des restes chinois et le fait qu'un anneau de la forme $\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}\,$ est un corps si et seulement si k est un nombre premier.

Pour chaque entier naturel n, l'ensemble de tous les diviseurs positifs de n devient un ensemble partiellement ordonné si nous utilisons la divisibilité comme relation d'ordre. Cet ensemble partiellement ordonné est toujours un treilli distributif. C'est une algèbre booléenne si et seulement si n est sans facteur carré.

Soit l'entier naturel donné n, définissons le radical de l'entier n par

$m = \operatorname{rad}(n)\,$ ,

égal au produit des nombres premiers p divisant n. Alors, les nombres sans facteur carré n sont exactement les solutions de $n = \operatorname{rad}(n)\,$ .