Algèbre de Boole (structure)

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En mathématiques, une algèbre de Boole ou un treillis booléen est un type de structure algébrique.

[modifier] Définition

Une algèbre de Boole est un ensemble $E$ contenant au moins deux éléments particuliers, $\top$ et $\perp$ , muni de deux lois de composition internes, $\vee$ et $\wedge$ , et qui vérifie les axiomes suivants :

1. associativité : Pour tous a, b et c de E,

$(a \vee b) \vee c = a \vee (b \vee c)$ et $(a \wedge b) \wedge c = a \wedge (b \wedge c)$

2. commutativité : Pour tous a et b de E,

$\quad a \vee b = b \vee a$ et $a \wedge b = b \wedge a$

3. absorption : Pour tous a et b de E,

$a \wedge (a \vee b) = a$ et $a \vee (a\wedge b) = a$

4. distributivité d'une loi par rapport à l'autre : Pour tous a, b et c de E,

$(a \vee b) \wedge c = (a \wedge c) \vee (b \wedge c)$ et $(a \wedge b) \vee c = (a \vee c) \wedge (b \vee c)$

5. idempotence : Pour tout a de E,

$a \vee a = a$ et $a \wedge a = a$

6. bornes : Pour tout a de E,

$\top \vee a = \top$ et $\perp \wedge a = \perp$

7. complémentarité : Pour tout a de E,

$a\quad$ possède un complémentaire noté $\neg a$ , tel que $a \vee \neg a = \top$ et $a \wedge \neg a = \perp$

Les propriétés 1, 2, 3 et 5 définissent une structure de treillis.
Ainsi, une algèbre de Boole est un treillis borné, distributif et complémenté.

[modifier] Propriétés

Les propriétés suivantes se démontrent à partir des axiomes de la définition :

$\top = \neg \perp$ .
$\perp = \neg \top$ .
Pour tout a de E, $\neg \; \neg a = a$ .
Pour tout a de E, le complémentaire est défini de manière unique. Autrement dit :

$a \lor b = \top \;{\rm et}\; a \land b = \bot \Rightarrow b = \lnot a$

$\top$ est l'élément neutre de la loi $\wedge$ .
$\perp$ est l'élément neutre de la loi $\vee$ .
Pour tout a et b de E,

$\neg(a\vee b) = \neg a \wedge \neg b$ .

$\neg(a\wedge b) = \neg a \vee \neg b$

(ces deux dernières formules sont les formules de De Morgan).

[modifier] Conclusion

La plus simple algèbre de Boole est l'ensemble des valeurs de vérité {Vrai, Faux} muni des lois ET et OU. C'est la première algèbre qui fut créée par George Boole, un mathématicien britannique qui durant le milieu du XIX^e siècle restructura complètement la logique. Cette algèbre a donné naissance à tout une branche des mathématiques et de la logique appelée l'Algèbre de Boole.

Rappelons-nous cependant qu'une algèbre de Boole n'est qu'une construction algébrique abstraite qui dépasse le cadre des fonctions logiques. L'ensemble des parties d'un ensemble, muni des opérations d'union, d'intersection et de complémentation en forme un autre exemple, lui aussi très banal, et particulièrement significatif algèbre de Boole.