Pi

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Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est π.

Le nombre pi, noté par la lettre grecque du même nom π (toujours en minuscule) est le rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Il est appelé aussi constante d'Archimède.

Un valeur approchée en est $\pi \approx 3{,}14159.$

π est un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il n'est pas le rapport de deux nombres entiers naturels^[1]. En fait, ce nombre est transcendant^[2]. Ceci signifie qu'il n'existe pas de polynôme à coefficients entiers ou rationnels dont π soit une racine. Il en résulte qu'il est impossible d'exprimer π avec un nombre fini d'entiers, de fractions rationnelles et de leurs racines.

La transcendance de π établit l'impossibilité de résoudre le problème de la quadrature du cercle : il est impossible de construire, à l'aide de la règle et du compas seulement, un carré dont la surface est rigoureusement égale à la surface d'un cercle donné.^[3]

[modifier] Histoire

Le nombre $π$ a très tôt été une source d'inspiration pour de nombreux mathématiciens, et ce autant en algèbre qu'en analyse. Ainsi, dès l'Antiquité, les savants, notamment les savants Grecs, se sont penchés sur les propriétés de ce nombre lors d'étude sur des problèmes de géométrie.

La plus ancienne valeur de $π$ dont la véracité est attestée provient d'une tablette babylonienne en écriture cunéiforme, découverte en 1936. Cette tablette date 2000 avant J.-C. Les Babyloniens y seraient arrivés en comparant le périmètre du cercle avec celui de l'hexagone inscrit, égal à trois fois le diamètre ; ils en déduisirent une des premières valeurs connues de $π$ : $π = 3 + 1 / 8$ (soit 3,125).

Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, recopié vers l'an 1650 avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d'un manuel de problèmes pédagogique plus ancien encore. On trouve trace d'un calcul qui implique que $π$ est évalué à $(16 / 9) 2$ (soit 3,160...).

[modifier] Formules incluant π

Les formules intéressantes incluant $\pi\,$ sont innombrables et apparaissent dans quasiment tous les domaines des mathématiques et des sciences. En voici quelques-unes couramment utilisées:

[modifier] Géométrie

Pi apparaît dans beaucoup de formules de géométrie impliquant les cercles et les sphères.

Forme géométrique	Formule
Circonférence d'un cercle de rayon r et de diamètre d	$C = 2 \pi r = \pi d \,\!$
Aire d'un disque de rayon r	$A = \pi r^2 \,\!$
Aire d'une ellipse de demi-axes a et b	$A = \pi a b \,\!$
Volume d'une boule de rayon r	$V = \frac{4}{3} \pi r^3 \,\!$
Aire surfacique d'une sphère de rayon r	$A = 4 \pi r^2 \,\!$
Volume d'un cylindre de hauteur h et de rayon r	$V = \pi r^2 h \,\!$
Aire surfacique d'un cylindre de hauteur h et de rayon r	$A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!$
Volume d'un cône de hauteur h et de rayon r	$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!$
Aire surfacique d'un cône de hauteur h et de rayon r	$A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!$

La surface d'un cylindre circonscrit à la sphère et de même hauteur est la même (bases du cylindre exclues).
$\pi\,$ se retrouve aussi dans le calcul des surfaces et volumes des hypersphères (à plus de 3 dimensions). La mesure d'angle 180° (en degrés) est égale à $\pi\,$ radians.

[modifier] Analyse

$\frac2\pi= \frac{\sqrt2}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots$ (formule de François Viète, 1593)

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{(-1)^k}{2k+1} + \cdots = \frac{\pi}{4}$ (formule de Leibniz)

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \cdots \cdot \frac{2k + 2}{2k+1} \cdot \frac{2k+2}{2k+3} \cdot \cdots = \frac{\pi}{2}$ (produit de Wallis)

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots + \frac{1}{k^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$ (Euler)

$\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots + \frac{1}{k^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$

et plus généralement, Euler indiqua que ζ(2n) est un multiple rationnel de $\pi^{2n}\,$ pour un entier positif n

$\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}$ (fonction gamma d'Euler)

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

$n! = \Gamma(n + 1) \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$ (formule de factorielle de Stirling)

$e^{i \pi} + 1 = 0\;$ (identité d'Euler, aussi appelée « la formule la plus remarquable au monde »)

π peut s'écrire sous forme de fractions continues généralisées remarquables :

$\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{\cdots}{\cdots + \frac{k^2}{(2k+1) + \cdots}}}}}}}$

$= {1 + {1^{2}\over 2 + {3^{2}\over 2 + {5^{2}\over 2 + {7^{2}\over 2 + {9^{2}\over 2 + {11^{2}\over 2 + ... }}}}}}}$ (William Brouncker)

$\frac{\pi}{2} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1/2 + \frac{1}{1/3+\,\cdots+ \frac{1}{1/n+\,\cdots}}}}$

(il y a d'autres représentations sur [1])

π peut également s'exprimer sous la forme d'une itération infinie de racines carrées :

$\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 2^{k} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}} \right )$ , où k est le nombre de racines carrées emboitées

ou encore :

$\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 3\cdot2^{k-1} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}}} \right )$

$\sum_{k=0}^{n} \varphi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2$ où $\varphi\,$ est la fonction indicatrice d'Euler (cf. aussi les suites de Farey).

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ dx = {\pi \over 4}\,$ (aire d'un quart de cercle unité)

[modifier] Théorie des nombres

La fréquence d'apparition de paires d'entiers naturels premiers entre eux parmi les paires d'entiers comprises entre 0 et N tend vers $\frac{6}{\pi^2}\,$ quand N tend vers l'infini.

Le nombre moyen de façons d'écrire deux entiers positifs quelconques compris entre 0 et N comme la somme de deux carrés parfaits, en tenant compte de l'ordre, tend vers $\frac{\pi}{4}\,$ quand N tend vers l'infini.

[modifier] Systèmes dynamiques / Théorie ergodique

La probabilité pour que deux entiers naturels soient premiers entre eux est $\frac{6}{\pi^2}\,$ .

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}$

presque partout sur [0, 1] où les x_i sont des itérés du plan logistique pour r = 4.

[modifier] Physique

$\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$ (inégalité de Heisenberg)

$R_{\mu\nu} - {g_{\mu\nu} R \over 2} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}$ (équation du champ d'Einstein de la relativité générale)

[modifier] Calcul de la valeur de pi

Du fait de sa nature transcendante il n'y a pas de développement décimal simple de π. Il en résulte que l'on ne peut en calculer qu'une valeur approchée. Par exemple, une valeur approchée avec seulement quelques décimales sur toutes celles découvertes à ce jour serait :

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679...

Pour l'utilisation courante, 3,14 ou 22/7 sont souvent suffisants, bien que les ingénieurs utilisent plus souvent 3,1416 (5 chiffres significatifs) ou 3,14159 (6 chiffres significatifs) pour plus de précision dans leurs calculs préliminaires (dans les calculs finaux, cependant, ils doivent utiliser la précision maximale de l'ordinateur, soit de 8 à 19 chiffres significatifs). 355/113 est une fraction facilement mémorisable qui donne 7 chiffres significatifs.

[modifier] Historique du calcul de Pi

Méthode d'approximation de pi d'Archimède

Au XX^e siècle av. J.-C. les Babyloniens utilisaient l'approximation 25 / 8 et les Égyptiens ( (16 / 9)² = 3.16049...) qui était une assez bonne approximation. Ce ne fut qu'au III^e siècle av. J.-C. qu'une meilleure approximation fut utilisée : vers 250 av. J.-C., grâce à une méthode consistant à encadrer un cercle par deux polygones, Archimède obtint : 223 / 71 < π < 22 / 7 (3.1408... < π < 3.1428...), soit 2 décimales exactes.

Au Moyen-Orient en 1429, Al-Kashi calcula 14 décimales de Pi. En 1596, toujours avec des méthodes géométriques, le Hollandais Ludolph van Ceulen calcula 20 décimales, puis 34 en 1609. Il fut si fier de son exploit (il y consacra une bonne partie de sa vie) qu'il demanda à ce que le nombre soit gravé sur sa tombe.

Ensuite, grâce au développement de l'analyse au XVII^e siècle, avec notamment les sommes et produits infinis, le calcul des décimales de Pi s'accéléra. Par exemple, Isaac Newton calcula 16 décimales en 1665, John Machin 100 en 1706. Vers 1760, Euler calcula 20 décimales en une heure (à comparer avec la trentaine de décimales obtenue par Van Ceulen en plus de 10 ans de calcul).

Le mathématicien slovène Jurij Vega calcula en 1789 les 140 premières décimales π parmi lesquelles 137 étaient correctes. Ce record tiendra plus de 50 ans. Il améliora la formule que John Machin avait trouvée en 1706 et sa méthode est toujours mentionnée aujourd'hui.

Le mathématicien William Shanks passa 20 ans de sa vie à calculer les décimales de Pi. Il en calcula 707, mais seules les 528 premières étaient correctes. À l'occasion de l'exposition universelle de Paris de 1937, celles-ci furent malheureusement gravées dans la salle π du Palais de la Découverte. L'erreur ne fut détectée qu'en 1945.

Le calcul des décimales de Pi s'emballa au XX^e siècle avec l'apparition de l'informatique : 2037 sont calculées en 1949 par le calculateur américain ENIAC, 10 000 décimales sont obtenues en 1958, 100 000 en 1961, 1 000 000 en 1973, 10 000 000 en 1982, 100 000 000 en 1989, puis 1 000 000 000 la même année. En 2002, 1 241 100 000 000 décimales étaient connues.

[modifier] Méthodes de calcul de Pi

[modifier] Les formules de Machin

La formule utilisée par John Machin, similaire à des formules encore utilisées aujourd'hui, permet un calcul rapide :

$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$

Il l'obtint avec un développement en série de Taylor de la fonction arctan(x). Cette formule peut être vérifiée aisément en coordonnées polaires dans le plan complexe, avec

$(5+i)^4 \times (-239 + i) = -114244 -114244i$ .

Les formules de ce genre sont nommées formules de Machin.

Les approximations très précises de π sont généralement calculées avec l'algorithme de Gauss-Legendre et l'algorithme de Borwein; l'algorithme de Salamin-Brent, inventé en 1976 a aussi été utilisé pour de très grands nombres de décimales.

On peut voir 1 000 000 de décimales de π et de 1/π sur le Projet Gutenberg (voir liens externes).

Le record actuel est de 1 241 100 000 000 de décimales, déterminées après 600 heures de calcul en novembre 2002 sur un supercalculateur parallèle Hitachi à 64 nœuds, avec 1 téraoctet de mémoire centrale, qui pouvait effectuer 2 000 milliards d'opérations en virgule flottante par seconde, soit près de deux fois plus que pour le précédent record (206 milliards de décimales); les formules de Machin suivantes ont été utilisées pour cela :

$\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}$ (K. Takano, 1982)

$\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}$ (F. C. W. Störmer, 1896)

Ces approximations sont tellement grandes qu'elles n'ont aucune utilisation pratique, si ce n'est tester les nouveaux supercalculateurs.

D'autres méthodes et algorithmes sont actuellement à l'étude et mis en œuvre comme l'utilisation en parallèle d'ordinateurs connectés sur le réseau Internet.

[modifier] Le calcul isolé des décimales de Pi

En 1995 David Bailey, en collaboration avec Peter Borwein et Simon Plouffe, a découvert une nouvelle formule de π, une série (souvent appelée formule BBP):

$\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)$

Cette formule permet de calculer facilement la n^e décimale binaire ou hexadécimale de π, sans avoir à calculer les décimales précédentes. Le site de Bailey en contient la dérivation et l'implémentation dans de nombreux langages de programmation. Grâce à une formule dérivée de la formule BBP, le 4 000 000 000 000 000^e chiffre de π en base 2 a été obtenu en 2001.

Un an plus tard, Simon Plouffe met au point un algorithme permettant le calcul de la n^e décimale de π, mais cette fois-ci en décimal. Il est décrit dans un court article disponible depuis la page de Simon Plouffe (http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/Simon/articlepi.html). Malheureusement, cet algorithme qui permet actuellement de déterminer en base 10 un chiffre précis et isolé de π est moins rapide que celui qui consiste à calculer tous les chiffres décimaux précédents.

[modifier] Autres formules

D'autres formules ont été utilisées pour calculer π dont:

$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k!)(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}$ (formule due à Ramanujan)

$\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}$ (formule due à David et Gregory Chudnovsky)

[modifier] Retenir pi

Un moyen mnémotechnique populaire (mais peu pratique) est le poème :

Que j'aime à faire connaître ce nombre utile aux sages !

Immortel Archimède, artiste, ingénieur,

Qui de ton jugement peut priser la valeur ?

Pour moi ton problème eut de pareils avantages.

Jadis, mystérieux, un problème bloquait

Tout l'admirable procédé, l'œuvre grandiose

Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.

Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe

Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez

Défié Pythagore et ses imitateurs.

Comment intégrer l'espace plan circulaire ?

Former un triangle auquel il équivaudra ?

Nouvelle invention : Archimède inscrira

Dedans un hexagone ; appréciera son aire

Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra :

Dédoublera chaque élément antérieur ;

Toujours de l'orbe calculée approchera ;

Définira limite ; enfin, l'arc, le limiteur

De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle

Professeur, enseignez son problème avec zèle

Le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale, sauf pour le chiffre "0" dont le codage correspond à un mot de 10 lettres.

En 2005, un japonais de 59 ans, Akira Haraguchi, a réussi à aligner par cœur 83 431 décimales de pi en 13 heures. Il réitéra son record un an plus tard (2006) en mémorisant et récitant publiquement 100 000 décimales pendant 16 heures. Cet exploit a été homologué par le Livre Guinness des records.

[modifier] Questions ouvertes

La question ouverte la plus importante est de savoir si π est un nombre normal, c'est-à-dire si n'importe quelle succession de chiffres apparaît dans la valeur décimale de π, comme on s'y attendrait dans une suite infinie et complètement aléatoire de chiffres. Ceci devrait être vrai dans n'importe quelle base, pas seulement en base 10.

On ne sait pas non plus quels sont les chiffres dont le nombre d'apparitions est infini.

Bailey et Crandall ont montré en 2000 que l'existence de la formule Bailey-Borwein-Plouffe ci-dessus et de formules similaires implique la normalité en base 2 de π.

[modifier] De la nature de π

En géométrie non euclidienne, la somme des angles d'un triangle peut être supérieure ou inférieure à π, et le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre peut aussi être différent de π. Cela ne change pas la valeur de π, mais cela affecte les formules dans lesquelles ce nombre apparaît. En particulier, la forme de l'Univers n'affecte pas la valeur de π : c'est une constante mathématique, pas une valeur physique.

[modifier] Voir aussi

Wikimedia Commons propose des documents multimédia sur Pi.

[modifier] Liens internes

[modifier] Livres

Jean-Paul Delahaye, Le fascinant nombre π, Éditions Belin, Pour la Science - ISBN 2-9029-1825-9
Pierre Eymard, Jean-Pierre Lafon, Autour du nombre Pi, Éditions Hermann, Paris, 1999 - ISBN 2705614435
Jörg ARNDT & Christoph HAENEL : À la poursuite de $\pi\,$ , Éditions Vuibert, 2006 - ISBN 2-7117-7170-9

[modifier] Liens externes

pi314.net : un site dédié à pi
www.nombrepi.com : un autre site dédié au nombre pi
Peripheria : le portail francophone sur le nombre pi
[2] : La constante pi dans le dictionnaire des nombres
Site permettant une recherche de chiffres dans les 200 000 000 premières décimales
Exposé sur Pi "Comment approximer la constante?" , démonstrations de la formule de Viète, du théorème de Buffon, utilisation de la radioactivité
le site Wolfram Mathematics compile de nombreuses formules pour π
Finding the value of Pi
PlanetMath: Pi
Archive des décimales de π, 32 premiers millions de décimales disponibles (en anglais)
programme pour extraire les décimales de Pi

[modifier] Notes et références

↑ L'irrationalité de π a été démontrée en 1761 par Johann Heinrich Lambert.
↑ Ce qui a été prouvé par Ferdinand Lindemann en 1882 : Lindemann, F. « Über die Zahl π », Mathematische Annalen 20 (1882), pp. 213-225.
↑ La raison en est que les coordonnées de tous les points constructibles à la règle et au compas sont des nombres algébriques particuliers.

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