Produit infini

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Vous avez de nouveaux messages (diff^?).

En mathématiques, pour une suite de nombres a₁, a₂, a₃, ... le produit infini

$\prod_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 \; a_2 \; a_3 \cdots$

est défini comme la limite des produits partiels a₁a₂...a_n quand n tend vers l'infini. On suppose que les termes de la suite sont non nuls. On dit que le produit converge quand la limite existe. Autrement on dit que le produit diverge. Si le produit converge, la limite de la suite a_n quand n tend vers l'infini vaut 1 mais la réciproque est généralement fausse. Le logarithme log a_n est bien défini pour tout n assez grand, et on a $\log \prod_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \log a_n$ ,

le produit du terme de gauche convergeant si et seulement si la somme du terme de droite converge. Ceci permet de relier les critères de convergence des sommes infinies aux critères de convergence des produits infinis.

Parmi les exemples les plus connus de produits infinis, on trouve quelques formules en rapport avec π, tels les deux produits suivants, dus respectivement à François Viète et John Wallis :

$\frac{2}{\pi} = \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} }{ 2 } \cdots$

$\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots$

[modifier] Fonctions exprimées comme produits

Un résultat majeur sur les produits infinis est le fait que toute fonction entière f(z) (i.e. toute fonction holomorphe sur le plan complexe pour tout entier) se factorise en un produit infini de fonctions entières ayant chacune au plus un zéro. En général, si f a un zéro d'ordre m à l'origine et d'autres zéros en u₁, u₂, u₃, ... (comptés avec multiplicité) , alors :

$f(z) = z^m \; e^{\phi(z)} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z}{u_n} \right) \; \exp \left\lbrace \frac{z}{u_n} + \left(\frac{z}{u_n}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{z}{u_n}\right)^{\lambda n} \right\rbrace :$

où les exposants λn sont des entiers positifs qui peuvent être choisis pour assurer la convergence de la série, et φ(z) est une fonction analytique uniquement déterminée (ce qui signifie que le terme devant le produit ne s'annule pas sur le plan complexe). Cette factorisation n'est pas unique, car elle dépend du choix des λn et n'est pas particulièrement élégante. Cependant, pour la plupart des fonctions, il existe un entier p minimal tel que le choix constant λn = p donne un produit qui converge, appelé la forme produit canonique, et, lorsque p = 1 convient, on obtient :

$f(z) = z^m \; e^{\phi(z)} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z}{u_n}\right)$

Ceci peut-être vu comme une généralisation du théorème fondamental de l'algèbre car ce produit devient fini dans le cas des polynômes et lorsque φ(z) une constante.

On peut donner comme exemples remarquables les formules suivantes :

La fonction sinus	$\sin \pi z = \pi z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z^2}{n^2}\right)$	Euler - La formule de Wallis pour π est un cas particulier de cette identité.
La fonction Gamma d'Euler	$1 / \Gamma(z) = z \; \mbox{e}^{\gamma z} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) \; \mbox{e}^{-z/n}$	Schlömilch
La fonction zeta de Riemann	$\zeta(z) = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(1 - p_n^{-z})}$	Euler - Ici p_n est la suite des nombres premiers.