Zentripetalkraft

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Die Zentralkräfte

Die Zentripetalkraft (bzw. Zentralkraft oder Radialkraft) ist eine physikalische Kraft, die an einem Körper angreift, der sich auf einer kreisförmigen Bahn bewegt. Sie hält den Körper auf seiner Kreisbahn und ist nach innen zum Kreismittelpunkt bzw. zur Drehachse gerichtet. Der Begriff leitet sich von „petere“ (lateinischer Begriff für "sich begeben" oder "aufsuchen") ab.

Der mitbewegte Beobachter nimmt die Zentrifugalkraft wahr, die auch als Fliehkraft bezeichnet wird. Diese leitet sich vom lateinischen Verb „fugere“ (deutsch "fliehen") her. Die Zentrifugalkraft, eine Trägheitskraft, ist nach außen gerichtet und im Gegensatz zur Zentripetalkraft eine Scheinkraft. Technische Anwendungen der Zentrifugalkraft sind die Zentrifuge und der Fliehkraftregler.

Inhaltsverzeichnis

1 Die Zentripetalkraft als Ursache der Kreisbewegung
2 Mathematische Grundlagen
- 2.1 Berechnung
- 2.2 Darstellung als Vektorprodukt
3 Zentripetal- und Zentrifugalbeschleunigung
4 Rotierende Bezugssysteme
5 Siehe auch

[Bearbeiten] Die Zentripetalkraft als Ursache der Kreisbewegung

Nach dem Trägheitsprinzip (1. Newtonsches Axiom) haben alle Körper eine ihnen innewohnende Trägheit. Jeder Körper behält nach diesem Prinzip seine Geschwindigkeit und Bewegungsrichtung bei, sofern keine äußeren Kräfte auf ihn einwirken. Er bewegt sich dann geradlinig gleichförmig.

Isaac Newton erklärt jede Geschwindigkeits- und Richtungsänderung durch eine von außen auf den Körper wirkende Kraft. Beobachtet man eine Richtungsänderung, so weist die Kraft immer in Richtung der Ablenkung.

Um einen Körper auf eine Kreisbahn zu zwingen, wird eine beständige Ablenkung in Richtung des Mittelpunktes benötigt. Diese wird als Zentripetalkraft bezeichnet. Diese Kraft ist daher die Ursache der Kreisbewegung.

[Bearbeiten] Mathematische Grundlagen

[Bearbeiten] Berechnung

Für einen Körper der Masse m (in kg), der sich im Abstand r (in Meter) mit der Geschwindigkeit v (in Meter pro Sekunde) auf einer Kreisbahn bewegt, ist der Betrag der Zentripetalkraft in Newton:

$F_Z=\frac{m \cdot v^2}{r}$

Sie ist nach innen gerichtet und wirkt stets senkrecht zur Rotationsachse. Die Zentrifugalkraft hat den gleichen Betrag und ist nach außen gerichtet.

Mit der Winkelgeschwindigkeit $ω$ ist der Betrag der Bahngeschwindigkeit $v = ω r$ errechenbar, das heißt, die Zentripetalkraft kann also auch so berechnet werden:

$F_Z=m \omega^2r\frac{}{}$

[Bearbeiten] Darstellung als Vektorprodukt

Verwendet man die Vektoren $\vec{r}$ für den Abstand und $\vec{\omega}$ für die Winkelgeschwindigkeit, so kann man die Zentripetalkraft mit dem Vektorprodukt darstellen:

$\vec{F_Z}=m \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})$ (Zentripetalkraft)

Die Zentrifugalkraft ist dieselbe Kraft mit negativem Vorzeichen.

$\vec{F_Z}=-m \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})$ (Zentrifugalkraft)

[Bearbeiten] Zentripetal- und Zentrifugalbeschleunigung

Wirkung der Zentrifugalkraft auf rotierende Flüssigkeiten

In den Formeln taucht die Masse m als Faktor auf. Ein doppelt so schwerer Körper erfährt daher die doppelte Kraft. Kräfte führen aber wegen Kraft = Masse · Beschleunigung zu Beschleunigungen. Die Beschleunigung auf einer bestimmten Kreisbahn ist für jeden Körper gleich, unabhängig von seiner Masse:

$a_Z=\frac{v^2}{r}$ (Zentripetal- und Zentrifugalbeschleunigung)

bzw. mit der Winkelgeschwindigkeit $ω$ :

$a_Z=\omega^2 \cdot r$ (Zentripetal- und Zentrifugalbeschleunigung)

Eine allgemeinere gültige Definition ist:

$\vec{a_Z} = \vec{\omega} \times ( \vec{\omega} \times \vec{r})$

Oder durch Umformen mit der Jacobi-Identität:

$\vec{a_Z} = \vec{\omega} ( \vec{\omega} \cdot \vec{r} ) - | \vec{\omega} |^2 \vec{r}$

[Bearbeiten] Rotierende Bezugssysteme

In rotierenden Bezugssystemen treten Zentrifugalkräfte als Scheinkräfte auf.

[Bearbeiten] Beobachtung eines ruhenden Körpers aus dem rotierenden Bezugssystem

Ein im ruhenden Bezugssystem (einem Inertialsystem) kräftefreier Körper hat eine konstante Geschwindigkeit. Nimmt man an, dass er dort im Abstand $r$ von der Achse eines rotierenden Bezugssystems ruht, so beschreibt er im rotierenden System einen Kreis mit dem Radius $r$ . Hierzu wäre eine zur Achse gerichtete Zentripetalkraft der Größe $m v 2 / r$ nötig, die der Beobachter im rotierenden System als Ursache der Kreisbewegung annimmt. Im ruhenden System ist der Körper dagegen kräftefrei, die Zentripetalkraft ist dort nicht vorhanden. De facto tritt im rotierenden System also eine Zentripetalkraft als Scheinkraft auf. Sie kommt zustande durch das Zusammenwirken zweier Scheinkräfte, nämlich der nach außen gerichteten Zentrifugalkraft (vom Betrag $m v 2 / r$ ) und der doppelt so großen, aber nach innen gerichteten Corioliskraft. In der Summe ergeben die beiden Kräfte gerade die erwähnte Zentripetalkraft.

[Bearbeiten] Beobachtung eines mitrotierenden Körpers

Ist der Beobachter im rotierenden System im Abstand $r b$ von der Achse entfernt und hat selbst die Masse $m b$ , so spürt er die Zentrifugalkraft, die ihn nach außen zieht. Er wendet also eine Gegenkraft, die Zentripetalkraft, auf um nicht nach außen zu fliegen. Da er sich als ruhend empfindet, ist die Gesamtkraft für ihn dann Null.

Im ruhenden System ist klar, dass diese Kraft durch die kreisförmige Bewegung mit $v b$ verursacht wird und der Beobachter durch eine Zentripetalkraft $m_bv_b^2/r_b$ auf seiner Kreisbahn gehalten wird.

[Bearbeiten] Zusammenfassung

	Beobachter steht, Objekt rotiert	Beobachter rotiert, Objekt steht	Beobachter rotiert, Objekt rotiert mit
Kräfte am Objekt aus der Sicht des Beobachters	Zentripetalkraft	scheinbare Zentripetalkraft	keine
tatsächliche Kräfte am Objekt	Zentripetalkraft	keine	Zentripetalkraft
Scheinkraft	nein	ja	-
Inertialsystem	ja	nein	nein

[Bearbeiten] Beobachtung eines bewegten Körpers aus dem rotierenden Bezugssystem

Ein kräftefreier Körper bewegt sich im ruhenden Bezugssystem geradlinig. Der Abstand $r$ zur Achse eines rotierenden Systems ändert sich also. Der rotierende Beobachter nimmt wie beim ruhenden Körper eine sich nun aber ändernde Zentripetalkraft zur Drehachse an.

Zusätzlich tritt jedoch eine Ablenkung quer zur Bewegungsrichtung auf. Diese rührt daher, dass der Körper im rotierenden System verschiedene Geschwindigkeitsbereiche durchläuft. Nach außen wird die Umlaufgeschwindigkeit immer größer. Entfernt sich der Körper von der Drehachse, so müsste er in Drehrichtung beschleunigt werden, um „mithalten“ zu können. Er bleibt also gegenüber dem Bezugssystem zurück. Der rotierende Beobachter nimmt eine Beschleunigung entgegen der Drehrichtung wahr, deren Ursache er auf eine Kraft, die Corioliskraft zurückführt. Diese ist also der Drehrichtung entgegengesetzt.

Nähert sich der Körper der Drehachse, müsste er entsprechend abgebremst werden. Hier wirkt die Corioliskraft also in Drehrichtung.