Zentralisator

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Der Zentralisator ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Eigenschaften
3 Beispiele
4 Verwandte Begriffe

[Bearbeiten] Definition

Sei $G$ eine Gruppe. Es sei $x \in G$ . Unter dem Zentralisator $Z G (x)$ von $x$ versteht man die Menge

$Z_G(x):=\{g\in G\mid gx=xg\}$

Es sei allgemeiner $U$ eine Teilmenge von $G$ . Unter dem Zentralisator $Z G (U)$ von $U$ versteht man die Menge

$Z_G(U):=\{g\in G\mid gu=ug\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ u \in U\}$

[Bearbeiten] Eigenschaften

Unabhängig davon, ob man den Zentralisator eines Gruppenelementes oder einer Teilmenge betrachtet, bildet dieser eine Untergruppe von $G$ , und zwar die größte, in der die Elemente dieser Menge zentral sind, d.h. im Zentrum dieser Untergruppe liegen (man beachte, dass das neutrale Element der Gruppe immer im Zentralisator enthalten ist, da es mit allen Elementen kommutiert).

Der Zentralisator der gesamten Gruppe $G$ ist gerade das Zentrum von $G$ . $Z G (G) = Z (G)$
Ein Element $x \in G$ ist genau dann im Zentrum von $G$ enthalten, wenn $Z G (x) = G$ .
G operiere auf sich selbst durch Konjugation. Der Zentralisator eines Elementes ist dann gerade der Stabilisator bezüglich dieser Gruppenoperation.

[Bearbeiten] Beispiele

Es sei $G$ eine endliche Gruppe, $x \in G$ . Es bezeichne $\langle x\rangle$ die von $x$ erzeugte zyklische Untergruppe. Es gilt dann: $\langle x\rangle$ ist eine Untergruppe von $Z G (x)$ .

[Bearbeiten] Verwandte Begriffe

Eng verwandt mit dem Begriff des Zentralisators ist der Begriff des Normalisators. In diesem Fall operiert die Gruppe auf der Menge ihrer Untergruppen durch Konjugation.

Von „http://de.wikipedia.org../../../z/e/n/Zentralisator.html“

Kategorie: Gruppentheorie