Normalisator

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Der Normalisator ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Eigenschaften
3 Beispiel
4 Verwandte Begriffe

[Bearbeiten] Definition

Es seien $G$ eine Gruppe und $U$ Untergruppe von $G$ . Der Normalisator von $U$ in $G$ (geschrieben: $N G (U)$ ) ist die Menge aller $g \in G$ , für die

$gUg^{-1}\subseteq U$

gilt. Dabei ist $gUg^{-1} = \{gug^{-1} | u \in U\}$ .

Eine äquivalente Forderung ist die, dass sogar $g U g - 1 = U$ gilt. Mit anderen Worten: Der Normalisator besteht aus denjenigen $g\in G$ , für die gilt, dass $U$ unter Konjugation mit $g$ invariant ist.

Man beachte, dass lediglich gefordert wird, dass $U$ als ganzes festbleibt, im Allgemeinen gilt also für einzelne Elemente $u\in U$ und $g\in N_G(U)$ durchaus $gug^{-1}\ne u$ ; es gilt aber stets $gug^{-1}\in U$ .

[Bearbeiten] Eigenschaften

Der Normalisator ist eine Untergruppe von $G$ .
Eine Untergruppe $U$ ist stets Normalteiler in ihrem Normalisator $N G (U)$ . Genauer: $N G (U)$ ist die größte Untergruppe von $G$ , in der $U$ Normalteiler ist
Eine Untergruppe ist genau dann Normalteiler in $G$ , wenn ihr Normalisator ganz $G$ ist.

[Bearbeiten] Beispiel

Es sei $G$ die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen (mit reellen Einträgen) für eine natürliche Zahl $n$ . Weiter sei $U$ die Untergruppe der Diagonalmatrizen. Dann ist der Normalisator von $U$ in $G$ die Gruppe der Matrizen, bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Eintrag ungleich null ist. Der Quotient $N G (U) / U$ ist isomorph zur symmetrischen Gruppe $S n$ .

[Bearbeiten] Verwandte Begriffe

Fordert man, dass $U$ elementweise invariant unter der Konjugation mit Gruppenelementen ist, erhält man den stärkeren Begriff des Zentralisators $Z G (U)$ . Der Zentralisator ist ein Normalteiler im jeweiligen Normalisator.

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Kategorie: Gruppentheorie