Zentrum (Gruppentheorie)

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In der Gruppentheorie ist das Zentrum einer Gruppe eine spezielle Teilmenge einer Gruppe (G, ·), die meist mit Z(G) bezeichnet wird. Sie besteht aus den Elementen von G, die mit allen Elementen von G kommutieren. Das heißt, ein Element z von G liegt genau dann im Zentrum, wenn für jedes g aus G die Gleichung zg = gz gilt.

[Bearbeiten] Formale Definition

Formal schreibt man

Das Zentrum von G ist eine Untergruppe, denn sind x und y aus Z(G), dann gilt für jedes g aus G

(xy)g = x(yg) = x(gy) = (xg)y = (gx)y = g(xy).

Also liegt xy im Zentrum. Analog zeigt man, dass x^-1 im Zentrum liegt. Das neutrale Element der Gruppe liegt stets im Zentrum.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Das Zentrum ist abelsch und ein Normalteiler von G, es ist sogar eine charakteristische Untergruppe von G. Ist G selbst abelsch, dann ist Z(G) = G.

Das Zentrum besteht aus genau den Elementen z von G, für die die Konjugation mit z (g → z^-1gz) die identische Abbildung ist.

[Bearbeiten] Beispiele

• Das Zentrum der symmetrischen Gruppe S₃ = {id, (1,2), (1,3), (2,3), (1,2,3), (1,3,2)} besteht nur aus dem neutralen Element id, denn:

  (1,2)(1,3) = (1,3,2) ≠ (1,3)(1,2) = (1,2,3)

  (1,2)(2,3) = (1,2,3) ≠ (2,3)(1,2) = (1,3,2)

  (1,2,3)(1,2) = (1,3) ≠ (1,2)(1,2,3) = (2,3)

  (1,3,2)(1,2) = (2,3) ≠ (1,2)(1,3,2) = (1,3)

• Die Diedergruppe D₈ besteht aus den Bewegungen der Ebene, die ein fest gewähltes Quadrat unverändert lassen. Es sind dies die Drehungen um den Mittelpunkt des Quadrats um Winkel von 0°, 90°, 180° und 270°, sowie vier Spiegelungen an den beiden Diagonalen und den beiden Mittelparallelen des Quadrats. Das Zentrum dieser Gruppe besteht genau aus den beiden Drehungen um 0° und um 180°.

• Das Zentrum der multiplikativen Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen mit Einträgen in den reellen Zahlen besteht aus den reellen Vielfachen der Einheitsmatrix.

Siehe auch Zentrum (Algebra) für weitere Zentrums-Begriffe der abstrakten Algebra.