Diskussion:Sinus und Kosinus

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[Bearbeiten] Tex Befehle

Ich würde gerne mal wissen ob man für umfangreichere Formeln Tex oder nicht verwenden sollte wegen Schönh- übersichtlichkeit. --Emp

vom Aussehen find ichs gut, aber es widerspricht wohl dem Wiki-Prinzip. Vielleicht sollte es eine Wikipedia:Formeln-Seite geben? Und eine entsprechende Anleitung. Seh ich das richtig, dass die Formeln als Bilder beim User ankommen, also keine Browserprobleme zu erwarten sind? --Martin

Die Formeln werden auf Server-Seite in Bilder (.png) umgewandelt. Daher sollte es keine Brauser-Probleme geben. Es sieht nur etwas wie gewollt und nicht gekonnt aus, da die Schrift sehr anders als die des restlichen Textes ist.

Wie macht man Zeilenumbruch in math-mode? --Emp

"es widerspricht wohl dem Wiki-Prinzip", Wieso? ich weiß nicht worum es geht. Ich habe selber ein paar Formel verTeXed mfg --nerd

Das habe ich ja bereits gemerkt, dass du was besonderes bist ;). Ich meinte was in dieser Richtung: "Die Einfachheit der Bearbeitung entsteht dadurch, dass - im Gegensatz zu HTML - nur mit wenigen Formatbefehlen gearbeitet wird. Dieser Minimalismus ermöglicht einer großen Gruppe von Menschen mit wenig Lernaufwand an diesem System teilzuhaben." Ich hab nichts gegen die Verwendung von Tex in der Wikipedia, wünschte mir aber eine erklärende Seite, damit z.B. ich und andere das auch lernen können. mfg --Martin

Wenn dich Tex interessiert, würde ich dir nicht unbedingt raten, hier anzufangen sonder dir eine Tex-Umgebung zu installieren und dann einfach Dokumente zu schreiben. Ansonsten gibt es sicherlich einige TeX-Lernseiten unter Google.de --Emp

Hallo, wenn ich es richtig verstanden habe sucht ihr sowas, oder?

http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:TeX

Hier gibt es alle Befehle, die unterstützt werden. Gruß

Wikipedia:WikiProjekt_Mathematik#Mathematische_Formeln, hier steht, wie man sie verwendet. --W!B: 04:14, 23. Okt 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Anmerkung

Ich bin wirklich kein Mathegenie. Aber die Anmerkung dass das nur für Winkel <90° gilt ist doch unsinnig, weil die Aussage sowieso auf rechtwinklige Dreiecke beschränkt ist, bei denen alpha immer kleiner 90° ist, weil einmal 90° ja für den rechten Winkel draufgehen und die restlichen 90° der Innenwinkelsumme von 180° sich ja auf zwei Winkel verteilen. Sehe ich das falsch? Mich hat die Anmerkung eher verwirrt, ich würde sie dann löschen. --Docvalium 01:25, 19. Apr 2005 (CEST)

Gemeint ist: nur für Zahlen zwischen 0 und 90 Grad kann man den Sinus in dieser Form interpretieren. Die zweite Anmerkung (im Abschnitt "Definition") will auch sagen, dass das so noch nicht alles ist. Ich setze den Artikel mal auf die Überarbeiten-Liste.-- Gunther 11:46, 19. Apr 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Überarbeiten

Definition unvollständig.-- Gunther 11:46, 19. Apr 2005 (CEST)

Die allgemeine Definition findet sich in Trigonometrische Funktion. Ich habe jetzt zwei Verweise darauf eingebaut. Soll die Definition hier verdoppelt werden? --NeoUrfahraner 21:26, 3. Mai 2005 (CEST)

Zumindest die Definition für $0<\alpha<180^\circ$ ist ja auch für die Geometrie relevant ((Ko-)Sinussatz), das sollte hier dann schon stehen. Ich fände es auch nicht schlimm, wenn der Einheitskreis in mehreren Artikeln auftaucht.--Gunther 21:56, 3. Mai 2005 (CEST)

Welches Bild sollen wir nehmen? http://en.wikipedia.org/wiki/Image:UnitCircle.png oder das momentan eingefügte von Trigonometrische Funktion? --NeoUrfahraner 09:25, 4. Mai 2005 (CEST)

Das englische Bild ist eher dazu da, um die π-Winkel zu erklären, und für ein paar spezielle Werte von sin und cos. Das derzeitige Bild erscheint mir sinnvoller.--Gunther 10:12, 4. Mai 2005 (CEST)

Ich habe es jetzt ausformuliert. Sollen wir diesen Punkt als erledig betrachten? --NeoUrfahraner 08:48, 5. Mai 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Sinus und Kosinus

Sinus, Kosinus und Trigonometrische Funktion haben viele Überschneidungen. In der englischen Wikipedia gibt es nur einen Artikel en:Trigonometric function, auf den en:Sine und en:Cosine weiterleiten. Es gibt zwar einige Gründe, getrennte Artikel zu haben, diese müssten aber irgendwie konsistent strukturiert sein, was schwierig wird. Sollen die Artikel zu einem einzigen zusammengeführt werden? Was machen wir mit Tangens, Cotangens, Sekans und Cosekans? --NeoUrfahraner 21:38, 3. Mai 2005 (CEST)

Sekans und Cosekans (Cosecans? Kosekans?) sind so eigentlich erschöpfend abgehandelt ;-) Tangens und Kotangens sind geometrisch bei weitem nicht so bedeutsam wie Sinus und Kosinus, von daher würde ich mich da nicht lange mit den unterschiedlichen Definitionen aufhalten (und die Definition als Quotient von Sinus und Kosinus funktioniert ja in jedem Fall). Vielleicht wäre ein Artikel "Sinus und Kosinus" ja sinnvoll.--Gunther 22:09, 3. Mai 2005 (CEST)

Zustimmung. "Sinus und Kosinus" wäre wohl sinnvoll, evtl in weitere Folge auch "Tangens und Kotangens" sowie auch "Sekans und Kosekans", da diese Paare jeweils einen konsistentne Aufbau des Artikels erforden. Alles gemeinsam in einem großen Artikel Trigonometrische Funktion ist wohl eine zu grobe Struktur. Gibt es andere Meinungen? --NeoUrfahraner 08:55, 4. Mai 2005 (CEST)

Der Kotangens wird halt in der Geometrie nicht so benutzt, dafür sieht seine Partialbruchzerlegung netter aus. Ein Artikel genügt aber vielleicht wirklich.--Gunther 10:41, 4. Mai 2005 (CEST)

Ich habe jetzt alles von Kosinus in den Artikel eingeflochten. Einige Abschnitte sind zwar noch sinusspezifisch; beim Kosinus steht aber auch nichts dazu, es geht also nichts verloren, wenn Kosinus gelöscht wird. Spricht was dagegen, wenn ich jetzt auf Sinus und Kosinus umbenenne und Kosinus durch ein Redirect ersetze? --NeoUrfahraner 08:51, 5. Mai 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Anmerkung

Hallo, finde die Erklärungen für den Sinus sehr gut. Jedoch würde ich hier anmerken, das hier die allgemeine Funktion y=a*sin(bx+c) mit ihren Gliedern sowie deren funktion (zb: c/b--> verschiebung auf der x-achse) erklärt werden sollte. Außerdem könnte man auch Beispiele für Anwendungen angeben wie aus der Physik (zb: x=-k*sin(w*t), wobei w=kreisfrequenz). mfg Hannes

Ich habe einen Link auf den Artikel Schwingung eingbaut, der das im Detail beschreibt. --NeoUrfahraner 08:10, 13. Mai 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Wo sind die Bilder?

Weiß jemand, wieso die Bilder verschwunden sind? Die Seite Sin.png existiert, zeigt aber kein Bild. Ist das ein vorübergehendes Datenbankproblem? --NeoUrfahraner 17:59, 13. Mai 2005 (CEST)

Angeblich Stromausfall, vgl. WP:FZW.--Gunther 18:05, 13. Mai 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Ich habe bei dem auch in der Schule gelehrten Ansatz folgendes Problem: Was ist überhaupt die Bogenlänge? Die einzige Definition, die ich kenne, verwendet Ableitungen, damit setzt man aber die Differenzierbarkeit von Sinus und Kosinus schon voraus.--Gunther 10:38, 19. Mai 2005 (CEST)

Stimmt. Sinus, Kosinus und Bogenlänge sind zunächst nur geometrisch und daher aus Sicht der Analysis nicht exakt definiert. Die geometrische Berechnung der Ableitung ist aus Sicht der Analysis daher auch nicht exakt. Diese geometrische Berechnung kann man aber als "Motivation" nehmen, um damit Sinus und Kosinus analytisch exakt (z.B. als Taylorreihe) zu definieren. In weiterer Folge kann man dann zeigen, dass

arcsin x

wirklich der Bogenlänge entspricht.

π

ist bei dieser Vorgangsweise analytisch als die kleinste positive Nullstelle von

cos x

definiert. Soll man diesen Zusammenhang im Artikel stärker herausstreichen? Ein etwas anderer Zugang wurde übrigens von Leopold Vietoris in "Vom Grenzwert $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$ ", Elemente Math. 12 (1957), S 8-10 vorgeschlagen (zuerst eine analytische Definition von

π

und danach eine analytisch exakte Berechnung der Ableitung lediglich mit Hilfe der Additionstheoreme); ich habe schon länger vor, diesen Zugang im Artikel einzubauen, aber noch keine Zeit dafür gefunden. Der Artikel Bogenlänge macht übrigens meiner Meinung nach noch zu wenig klar, dass die Bogenlänge komplizierter zu berechnen ist, als es auf den ersten Eindruck aussieht. --NeoUrfahraner 11:25, 19. Mai 2005 (CEST)

Ich finde Stetigkeit und Differenzierbarkeit zu technisch, als dass man sie vernünftig motivieren könnte. Eine anschauliche Motivation, warum die Ableitung des Sinus der Kosinus ist usw., halte ich dagegen für sinnvoll. Man sollte aber immer klar zwischen einem vereinfachten Beweis und einer reinen Motivation trennen.--Gunther 12:15, 19. Mai 2005 (CEST)

Was bedeutet das konkret für diesen Artikel? Die Problematik der Bogenlänge gehört meines Erachtens ausführlicher behandelt, das sollte aber nicht hier, sondern im Artikel Bogenlänge erfolgen. Die zweite Herleitung der Ableitung, die auf $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$ führt und diesen Grenzwert ausschließlich mit Flächenüberlegungen und ohne Bogenlänge berechnet, ist, so weit ich es sehe, aus Sicht der Geometrie exakt (nicht aber aus der Sicht der Analysis). Welche Punkte sollten klarer herausgestrichen werden? --NeoUrfahraner 12:39, 19. Mai 2005 (CEST)

Hm, ich versuche mal, das Argument zu formalisieren: Wir parametrisieren den Einheitskreis z.B. durch

$\gamma(t)=\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)$

und definieren

$\sin\alpha(t):=\frac{2t}{1+t^2}$

mit

$\alpha(t)=\int_0^t\sqrt{1+|\dot\gamma(\tau)|^2}\,\mathrm d\tau =\int_0^t\frac{2\,\mathrm d\tau}{\tau^2+1}.$

Jetzt wird man irgendwelche Eigenschaften von $α$ beweisen müssen, z.B.: $α$ ist eine Bijektion $\mathbb R\to(-\pi,\pi)$ (dabei ist $π$ i.w. durch diese Eigenschaft definiert). Dann kann man aber auch gleich zeigen, dass $α$ ein Homöomorphismus ist, und die Stetigkeit des Sinus ist klar.--Gunther 13:22, 19. Mai 2005 (CEST)

Die Möglichkeit, Winkelfunktionen auf diese Art als Integral zu definieren, erwähnt Vietoris ebenfalls kurz in der oben zitierten Arbeit. Diese Vorgangsweise ist natürlich völlig exakt und wird anscheinend auch in einigen Analysislehrbüchern verwendet. Der Nachteil dieses Zugangs ist lediglich ein didaktischer: In einer Analysisvorlesung kann dann Sinus und Kosinus erst relativ spät eingeführt werden, nämlich nach Behandlung von Integral und Bogenlänge. --NeoUrfahraner 14:12, 19. Mai 2005 (CEST)

Aber ich sehe keine andere Möglichkeit, das geometrische Argument zu präzisieren. Oder willst Du Längen von Kurven axiomatisieren? Wenn ja, wie?--Gunther 14:30, 19. Mai 2005 (CEST)

Die zweite Herleitung über Flächen benötigt keine Bogenlängen; der Winkel ist sozusagen als doppelter Flächeninhalt des dazugehörigen Sektors am Einheitskreis definiert, analog zu den Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen. Das lässt sich nach meiner Einschätzung sehr wohl axiomatisieren; ich habe diese Axiomatisierung aber noch nie konkret ausgeführt gesehen. Der für meinen Geschmack schönste Weg ist aber, Sinus und Kosinus als stetige Lösung eines Funktionalgleichungssystems zu definieren, das im Prinzip aus den beiden Additionstheoremen besteht. Dieser Zugang wird, wenn ich mich recht erinnere, von Heuser gewählt, der dann mit $\lim \sin x/x = 1$ die Eindeutigkeit der Lösung sichert (und

π

wieder über die Nullstelle des Kosinus definiert). Umgekehrt kann man auch mit einer Definition von

π

starten, mit

cosπ / 2 = 0

als kleinste positive Nullstelle die Eindeutigkeit der Lösung des Funktionalgleichungssystems sichern und in weiterer Folge $\lim \sin x/x = 1$ beweisen (a la Vietoris). Es lässt sich dann relativ einfach zeigen, dass die verschiedenen anderen möglichen analytischen und geometrischen Definitionen die Funktionalgleichung tatsächlich lösen. Wie schon angedeuet, habe ich vor, das in den Artikel einzubauen, bisher aber noch nicht die Zeit dazu gefunden. --NeoUrfahraner 15:08, 19. Mai 2005 (CEST)

Der Zugang über Flächen sieht schlüssig aus, das stimmt. Sinus und Kosinus über die Funktionalgleichungen zu definieren, kommt mir künstlich vor. Bei der Exponentialfunktion finde ich die Funktionalgleichung relativ natürlich, die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen sind für meinen Geschmack zu kompliziert. Da ist die Charakterisierung über Differentialgleichungen naheliegender (der Weg

γ(t) = (cos t,sin t)

soll mit Geschwindigkeit 1 den Einheitskreis durchlaufen, also ist $\dot\gamma$ das Bild von

γ

unter einer Drehung um $90^\circ$ ).--Gunther 15:25, 19. Mai 2005 (CEST)

Den Satz mit den "geometrischen Überlegungen" verstehe ich nicht. Es handelt sich bei

$\frac{\mathrm e^{\mathrm iz}-\mathrm e^{-\mathrm iz}}{2\mathrm i}$

um einen holomorphen Ausdruck, der auf $(0,π / 2)$ mit dem geometrisch definierten Sinus übereinstimmt. Ist das nicht schon der ganze Grund, steckt da noch mehr dahinter?--Gunther 16:20, 19. Mai 2005 (CEST)

Wie definierst Du in diesem Zusammenhang

e i z

? --NeoUrfahraner 16:27, 19. Mai 2005 (CEST)

Ist das nicht egal? Jedenfalls nicht über die Euler-Formel. Potenzreihe, Differentialgleichung, eindeutig bestimmte holomorphe Fortsetzung der reellen Exponentialfunktion, such Dir was aus :-) --Gunther 16:32, 19. Mai 2005 (CEST)

Wenn Du es nicht über die Euler-Formel definierst, wie siehst Du dann, dass der Ausdruck mit dem geometrisch definierten Sinus übereinstimmt? --NeoUrfahraner

Das kommt auf die genaue geometrische Definition an. Mit der obigen Formalisierung der Definition über die Bogenlänge ist jedenfalls kein weiteres geometrisches Argument nötig.--Gunther 16:54, 19. Mai 2005 (CEST)

Der Sinus ist aber im betreffenden Absatz nicht über die Formalisierung der Definition der Bogenlänge, sondern über die Euler-Formel und die Exponentialfunktion definiert. Oder andersrum - wie beweist Du die Euler-Formell? Der Beweis im Artikel Eulersche Identität setzt ja die Ableitung von sin und cos voraus. --NeoUrfahraner 17:16, 19. Mai 2005 (CEST)

Geometrische Definition: Suche den Punkt auf dem Einheitskreis auf, der der Bogenlänge

α

entspricht; der Sinus ist seine

y

-Koordinate. In Formeln ist das die o.a. Gleichung

$\sin^{\mathrm{geo}}\int_0^t\frac{2\,\mathrm d\tau}{1+\tau^2}=\frac{2t}{1+t^2}.$

(Man kann sich auch überlegen, dass das Integral auf der linken Seite auch zur Flächendefinition passt. Und wie auch immer man die Geometrie axiomatisiert: auf jeden Fall ist die analytische Geometrie ein Modell.) Aus dieser die Gleichung

sin geo x = sin ana x

mit

$\sin^{\mathrm{ana}}x=\frac{\mathrm e^{\mathrm iz}-\mathrm e^{-\mathrm iz}}{2\mathrm i}$

herzuleiten, erfordert keine geometrischen Argumente, das genaue Vorgehen ist irrelevant.--Gunther 17:30, 19. Mai 2005 (CEST)

Du hast damit ja den "geometrischen" Sinus ja letzlich analytisch über ein Integral definiert. Dass die Äquivalenz der verschiendenen analytischen Definitionen (Taylorreihe, Eulerformel, Integral, Funktionalgleichung) rein analytisch gezeigt werden kann, ist natürlich wünschenswert. Worauf ich hinaus will, ist, dass man mit der Definition mit der Exponentialfunktion dem oben diskutierten Problem mit der Bogenlänge nicht entkommt. Soll ich "auf geometrische Überlegungen beruht" durch "bzw. eine saubere Definition der Bogenlänge erfordert" ergänzen? --NeoUrfahraner 17:55, 19. Mai 2005 (CEST)

Nein, das ist keine analytische Definition, sondern die Umsetzung der geometrischen Definition in dem einzigen mir bekannten Modell für die wie auch immer formalisierte Geometrie, die für die Bogenlängendefinition nötig ist. Die Flächendefinition ergibt genau dieselbe Gleichung.

Und dass man für den Beweis der Äquivalenz zweier Definitionen beide benutzen muss (bzw. alle darin vorkommenden Begriff definieren muss), ist mMn nicht erwähnenswert.--Gunther 18:34, 19. Mai 2005 (CEST)

Ja, genau das ist der Punkt, auf den ich hinaus will. Die Definition mit der Exponentialfuktion erspart einem nicht "die Umsetzung der geometrischen Definition in dem ... Modell für die wie auch immer formalisierte Geometrie, die für die Bogenlängendefinition nötig ist". So kann man es natürlich nicht im Artikel formulieren, aber auf diese Schwachstelle der Definition mit der Exponentialfuktion gehört hingwiesen. "die Umsetzung der geometrischen Definition in dem ... Modell für die wie auch immer formalisierte Geometrie, die für die Bogenlängendefinition nötig ist" gehört natürlich in weiterer Folge auch noch als "saubere" Definition bei den analytischen Definitionen dazu. --NeoUrfahraner 18:53, 19. Mai 2005 (CEST)

Ich sehe darin ausschließlich eine Schwäche der geometrischen Definition, die innerhalb der Geometrie undefinierte Begriffe verwendet. Die übliche systematische Vorgehensweise definiert ja auch den Winkel über die trigonometrischen Funktionen und nicht über eine Bogenlänge.--Gunther 19:38, 19. Mai 2005 (CEST)

Ich habe jetzt Teile unserer Diskussion im Artikel eingebaut; ich hoffe, es ist in Deinem Sinne. --NeoUrfahraner 08:33, 21. Mai 2005 (CEST)

Der obige Ansatz ist (wie gesagt) keine neue Definition, sondern lediglich die Anwendung der geometrischen Definition auf den konkreten Punkt

γ(t)

auf dem Einheitskreis.--Gunther 10:45, 21. Mai 2005 (CEST)

Das ist letzlich eine Frage das Standpunkts. Wenn man eine wie auch immer formalisierte Geometrie hat und zeigt, dass die analytische Geometrie ein Modell dafür ist, dann ist es tatsächlich keine neue Definition. Dieser Zugang über eine formalisierte Geometrie ist aber zumindest nicht üblich; er wird meines Wissens an keiner Universität so gelehrt. --NeoUrfahraner 11:55, 21. Mai 2005 (CEST).

Das sehe ich auch so. Nur: welche Möglichkeiten gibt es außer einer formalisierten Geometrie oder gleich der analytischen Geometrie?--Gunther 12:25, 21. Mai 2005 (CEST)

Man definiert eben "irgendwie" den Sinus und Kosinus analytisch. Die geometrischen Überlegungen dienen "nur" dazu, die so definierten Funktionen zu veranschaulichen, also heuristisch klarzumachen, dass die so definierten Funktionen mit dem Sinus und Kosinus der "naiven" Geometrie zusammenfallen. Wenn man dann allerdings eine formalisierte Geometrie zur Verfügung hat, dann kann bzw. muss man formal zeigen, dass diese analytische definierten Funktionen mit den in dieser formalisierten Geometrie definierten Sinus und Kosinus tatsächlich übereinstimmen. --NeoUrfahraner 17:05, 21. Mai 2005 (CEST)

Ich fasse zusammen: Es gibt die folgenden Definitionsmöglichkeiten:

naiv geometrisch: nicht haltbar
formal geometrisch: unüblich und in den Details unklar
analytisch-geometrisch: auch nicht ausgesprochen üblich, führt auf die o.g. Integralformeln
analytisch, d.h. als Potenzreihe oder über Funktional-/Differentialgleichung, entweder direkt oder indirekt über die Exponentialfunktion

Der einzig übliche Zugang scheint mir der letzte zu sein, die Beziehung zur klassischen Definition wird dann mithilfe der analytischen Geometrie hergestellt: Winkel werden über den Kosinussatz definiert. Die Tatsache, dass die Bogenlänge am Einheitskreis proportional zum Winkel ist, ist dann eine triviale Folge davon, dass der Weg $γ(t) = (cos t,sin t)$ konstante Geschwindigkeit 1 hat.

Wenn wir uns soweit einig sind, ist die Frage: Welche unüblichen Ansätze sollen im Artikel vorgestellt werden?

Ich finde den Artikel momentan übrigens etwas herleitungslastig, ich denke, manche Punkte müsste man nicht unbedingt beweisen (z.B. wie die Additionstheoreme des Sinus aus denen des Kosinus folgen).--Gunther 02:12, 22. Mai 2005 (CEST)

Ich enthalte mich vorerst der Stimme und warte weitere Meinungen ab. --NeoUrfahraner 08:46, 23. Mai 2005 (CEST)

Zu "herleitungslastig": Den Abschnitt "Ableitung (Differentiation) und Integration von Sinus und Kosinus" könnte man sehr leicht in einen eigenen Artikel auslagern. Was hältst Du davon? --NeoUrfahraner 10:16, 25. Jul 2005 (CEST)

Zu "herleitungslastig" gehört auch, dass die Additionstheoreme nirgendwo einfach als Formeln dastehen, sondern nur als Teil ihrer Herleitung. Ein gutes Lemma für eine Auslagerung fällt mir aber spontan nicht ein, ich denke darüber nach.--Gunther 11:52, 25. Jul 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Definition als Produktentwicklung

Wieso soll diese Produktdarstellung eine Definition sein? Das ist doch im üblichen Aufbau eher ein Formel, die aus anderen Definitionen abgeleitet wird. --NeoUrfahraner 20:24, 21. Jun 2005 (CEST)

Zustimmung. Entscheidend ist, ob es üblich ist, den (Ko-)Sinus so zu definieren, nicht ob es möglich ist.--Gunther 20:43, 21. Jun 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Methode zur Berechnung sin(x)

Hallo, ich frage mich ob es nützlich wäre hier noch folgende Methode zur Berechnung des Sinus einzufügen. Ich persönlich traue mich nicht an eine so komplexe Seite heran um da irgendetwas einzufügen wovon ich nicht mal wüsste in welchen Bereich ich es zu packen hätte.

Die Formel wäre dies:

$sin \left( \frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{ \frac{1}{2}\left( 1-\sqrt{1-sin^2\alpha}\right)}$

Die Formel findet sich bereits am Ende des Abschnitts "Berechnung der Ableitung aus den Additionstheoremen". --NeoUrfahraner

[Bearbeiten] Umkehrfunktion

Man kann bei den 4 Umformungen überall vor die Wurzeln noch $\pm$ schreiben. Aus $sin 2 x + c o s 2 y = 1$ folgt $\sin(x)=\pm\sqrt{1-cos^2}$ . Für sin(y) = tan... gilt das +- vor der Wurzel ebenfalls, siehe Formelsammlung. Da sin(arccos(x)) = ... aus der obigen Gleichung folgt, gilt das +- auch dort.

$\sin(\arccos(x))=\pm\sqrt{1-x^2}$ , das folgt aus $\sin(y)=\pm\sqrt{1-\cos^2 y}$ und $y=\arccos(x)\!$ .

$\cos(\arcsin(x))=\pm\sqrt{1-x^2}$ , das folgt aus $\cos(y)=\pm\sqrt{1-\sin^2 y}$ und $y=\arcsin(x)\!$ .

$\sin(\arctan(x))=\frac{x}{\pm\sqrt{1+x^2}}$ , das folgt aus $\sin(y)=\frac{\tan y}{\pm\sqrt{1+\tan^2y}}$ und $y=\arctan(x)\!$ .

$\cos(\arctan(x))=\frac{1}{\pm\sqrt{1+x^2}}$ , das folgt aus $\cos(y)=\frac{1}{\pm\sqrt{1+\tan^2y}}$ und $y=\arctan(x)\!$ .

--manech

Exemplarisch die erste Formel: Es gilt $0\leq\arccos x\leq\pi$ , und in diesem Bereich ist der Sinus nichtnegativ. Deshalb gilt $\sin\arccos x=\sqrt{1-x^2}$ ohne Minuszeichen.--Gunther 19:46, 11. Jul 2005 (CEST)

Okay. Es müsste heißen: $\sin(\arccos(x))=\pm\sqrt{1-x^2}$ , das folgt aus $\sin(y)=\pm\sqrt{1-\cos^2 y}$ und $y = arccos(x)$ , mit $\pm$ positiv für $0\leq y=\arccos(x)\leq\pi$ und negativ für $\pi\leq y=\arccos(x)\leq 2\pi$ etc. Ich werd es ändern.

In der Praxis wird man meist auf folgenden Fall treffen, aber das soll man sich dann schon selbst denken können.

$\sin(\arccos(x)+n\pi)=\pm\sqrt{1-x^2}$ mit $n\in\mathbb{N}$ .

--Manech 22:03, 11. Jul 2005 (CEST)

arccos x

ist nicht einfach irgendeine Zahl

y

, für die

cos y = x

gilt, sondern die eindeutig bestimmte derartige Zahl zwischen 0 und

π

, siehe Arcuscosinus. Deshalb ist die derzeitige Fassung ohne weitere Zusätze richtig.--Gunther 22:13, 11. Jul 2005 (CEST)

ok. ;) habs wieder rückgängig gemacht.

Ich habe die fehlende Argumentation ergänzt, damit künftig Missverständnisse vermieden werden --NeoUrfahraner 07:09, 12. Jul 2005 (CEST).

[Bearbeiten] Bilder nicht maßstabstreu

Die beiden einleitenden sin/cos-Bilder fände ich noch viel hübscher, wenn sie auf x/y-Achse den gleichen Maßstab hätten.--JFKCom 21:02, 13. Sep 2005 (CEST)

Hallo!

Also hier sind die Bilder maßstabsgetreu:

Ich finde die alten Bilder trotzdem schöner... :)

--Fredstober 01:23, 14. Sep 2005 (CEST)

Hab die Bilder noch in die Commons verlegt --Fredstober 01:36, 14. Sep 2005 (CEST)

Ich finde die maßstabstreuen schöner. Übrigens: schauen die (gilt für beide Versionen) nur auf meinem Browser so blaß aus?--JFKCom 18:53, 14. Sep 2005 (CEST)

Sieht es jetzt besser aus? --Fredstober 23:24, 14. Sep 2005 (CEST)

Nein, falls Du die beiden hier rechts meinst.--JFKCom 00:02, 15. Sep 2005 (CEST)

ich habe (siehe #Layout) jetzt die 1:1-bilder eingebaut. sie passen gut zur überarbeiteten einleitung. ausserdem ist ihr didaktischer wert höher, da die meisten „mathes-anfänger“ sinuskurven als serie von halbkreisen zeichen, und nur die 1:1-darstellung die 45°-steigung der nullpunktstangente verdeutlicht. --W!B: 18:39, 11. Dez 2005 (CET)

[Bearbeiten] Exzellenz-Diskusion

Ich denke, das ist ein exzellenter Artikel. Sehr umfassend, präzise und passend bebildert.

contra- zum einen fehlt die Geschichte zum anderen ist der Artikel zu kompliziert.--G 14:58, 10. Sep 2005 (CEST)
contra- Das ist wie ein Artikel aus einem der Analysisbücher, das man sich schnell reinprügelt, wenn man die Klausur mal eben bestehen will. Es fehlt aber, wie schon erwähnt, die Geschichte und einige Anwendungen. Die Reihenfolge ist auch nicht soooo toll: Erst wird definiert, dann abgeleitet, dann anders definiert... Und ein wenig arg Formellastig ist es m.E. auch.--Gnu1742 23:09, 11. Sep 2005 (CEST)
contra- zu mathamtisch...

Was soll denn zu mathematisch heißen, es ist nun mal Mathematik.

Einen Artikel zur Chinesischen Sprache schreibe ich ja auch nicht auf Chnesisch. --Rabe! 15:06, 23. Sep 2005 (CEST)

Die Kritikpunkte sind ja schon angemerkt, zuviele langweilige (wenn auch richtige und keineswegs überflüssige) Formeln, zuwenig unterhaltsamer Text, den auch jemand versteht, der nicht min. 3 Semester Mathe hatte. Wer hats erfunden? Wo wird es angewendet, seit wann? Welche Bedeutung hat der Sinus für mein Leben, bzw. unsere Technikgesellschaft?...Fragen über Fragen... (WP:WSIGA) Hadhuey 10:13, 13. Sep 2005 (CEST)

contra- aus obigen Gründen. Vielleicht läßt sich dem Problem mit einer Gliederung begegnen, die Sinus und Cosinus ersteinmal in Lebensfeldern vorstellt, in denen der Kunde sie kennt. Ich dachte bei der Frage, was das ist, nicht zuerst an die Definition: Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse - sondern an Sinusfunktionen, bekannte Kurven, Töne, und eben eine solche Graphik steht ja auch daneben. Lesend mußte ich dann nachdenken, wie sich diese Definition zu den Abbildungen verhält. Es ist nicht gleich erkennbar, daß man aus diesem Verhältnis eine Funktion bilden kann. Gut wäre es, glaube ich von der Funktion her zu erklären. Sagen wie man die bekannte Funktion geometrisch erzeugt, dann kann man die harte Definition immer noch zusammenfassend bringen. --Olaf Simons 10:44, 13. Sep 2005 (CEST)
Pro Wikipedia ist nicht Reader's Digest, d.h. ein Artikel ist nicht exzellent, wenn er besonders allgemeinverständlich ist, sondern wenn er korrekt und umfassend ist. --GS 11:16, 13. Sep 2005 (CEST)
contra auch mir fehlt die Geschichte und die praktische Anwendung --Luha 12:26, 13. Sep 2005 (CEST)
contra Die ganzen Formeln sind mE für einen mathematischen Artikel in Ordnung. Aber für einen guten Lesefluß muß das Verhältnis von Text zu Formeln noch stark zugunsten des Texts geändert werden. Manche Abschnitte stehen sogar ohne irgendwelche Erläuterungen da. Außerdem wäre eine bessere Sortierung der Abschnitte angebracht. Die vorhandenen Bilder sind gut. Sehr schön finde ich das animierte GIF zur Darstellung der Funktionswerte. Noch schöner wäre es, wenn in dem GIF auch gleich die Auftragung der Werte in einem Graph dargestellt werden würde. Und die Erklärungen am Anfang könnte man wahrscheinlich noch verständlicher darstellen, für Leute, die grundlegendes erfahren wollen. Ansonsten finde ich den Artikel im Rahmen der Möglichkeit gut verständlich. Die Reihenentwicklung oder die komplexen Zusammenhänge mit der eFunktion kann man wohl nicht allgemein verständlich präsentieren, schließlich ist das höhere Mathematik und erfordert gewisse Grundlagen. Aber die Großmutter oder ein Schüler werden darauf auch nicht ihr Hauptaugenmerk legen... --Sentry 12:10, 15. Sep 2005 (CEST)

Vielleicht wäre es sinnvoll, die Additionstheoreme in einen eigenen Artikel auszulagern (dann auch mit Herleitung und mit weiteren Rechenregeln zu versehen). Das würde diese Formelsammlung ein wenig entzerren und leserlicher machen. Die Frage ist, ob ein Artikel über Rechenregeln hier einen Platz hat. --Sentry 23:56, 15. Sep 2005 (CEST)

Pro Ich habe die Formeln nicht im Detail geprüft, ich hoffe mal der Autor hat hier gute Arbeit geleistet. Für mich leistet der Artikel was er soll: umfassende Darstellung mathematisch wichtiger Informationen zu einem mathematischen Grundlagen-Thema. Die Geschichte des Sinus findet sich bereits im Artikel Trigonometrie, wo sie auch hingehört. -- mkill - ノート 04:07, 16. Sep 2005 (CEST)

Contra 1. Geschichte fehlt. 2. Das Literaturverzeichnis enthält nur 1 Eintrag, der noch dazu ein sehr spezielles Thema betrifft. 3. Die Berechnung der Ableitung aus den Additionstheoremen ist zwar interessant, aber doch sehr spezieller Soff, der hier mMn fehl am Platz ist. Evtl. wäre es eine Überlegung wert, die Thematik Additionstheoreme in einen eigenen Artikel auszulagern. -- Wasseralm 21:21, 16. Sep 2005 (CEST)

Abwartend Der Artikel ist sehr umfangreich und es steckt offenbar eine Menge Arbeit drin. Die mathematische Korrektheit oder Vollständigkeit kann ich nicht beurteilen. Was mir allerdings fehlt ist eine auch für Laien verständliche Erklärung der Grundlagen die keine Kenntniss von mathematischen Notationen voraussetzt. Da wären z.B. einfache Anwendungen zur Berechnung von Dreiecken, besondere Werte (0/0.5/√2/1), der Zusammenhang mit anderen Funktionen (Tangens) und Beispiele aus der realen Welt (z.B. Schwingung). Das animierte Bild könnte auch etwas Erklärung vertragen. Für eine allgemeine Enzyklopädie ist die jetzige Darstellung meiner Meinung nach ungeeignet. Bei Artikeln in Bereichen wie Biologie oder Informatik wird üblicherweise versucht eine sinnvolle Mischung aus leicht verständlichem Allgemeinwissen und Fachinformationen für Insider zu erreichen. Ich denke für mathematische Artikel sollte das auch angestrebt werden, insbesondere bei Allerweltsfunktionen wie Sinus und Kosinus. --X4u 18:48, 19. Sep 2005 (CEST)

contra ausdrücklich nicht aufgrund der vielen Formeln, sondern wegen 1. fehlender Geschichte (auch was in Trigonometrie steht ist dürftig), 2. fehlender Literatur und 3. eines IMHO zu kurzen Anwendungsteils. Im Sinne der Übersichtlichkeit wäre es - wie schon genannt - noch eine Möglichkeit, die Additionstheoreme und einige Herleitungen in Einzelartikel auszulagern. --Andreas ?! 18:15, 24. Sep 2005 (CEST)

contra die Materie ist umfassend dargestellt, allerdings ist die allgemeine Einleitung zu kurz. Als erstes sollte der Laie einen Überblick bekommen. Die Formeln sind so ok und gehören in so einen Artikel. Man sollte aber überlegen, einiges auszulagern. Dies würde die Übersichtlichkeit und Ladezeit wesentlich verbessern. --Henristosch 20:37, 25. Sep 2005 (CEST)

contra, wenn auch sehr ungern. Die hervorragende Arbeit, die in dem Artikel bereits steckt, ist unverkennbar und braucht gar nicht diskutiert zu werden. Ich wage mal folgende These: um einen Artikel über etwas komplexere mathematische Themen wirklich exzellent zu machen, sind gewisse Zugeständnisse an Allgemeinverständlichkeit und Lesbarkeit schon wünschenswert. Daher finde ich das "Readers' Digest"-Argument von weiter oben nicht angebracht. Nachdem die vorhandene Grundsubstanz auf der inhaltlichen Ebene aber so ausserordentlich gut ist (soweit ich das noch beurteilen kann, jedenfalls), sollte man sich überlegen, ob er es nicht in besonderem Maße verdient hat, durch etwas mehr "Extrovertiertheit" unzweifelhaft exzellent zu werden. --Bottomline 12:02, 26. Sep 2005 (CEST)

pro ich finde dass der artikel sehr umfassend ist und unbedingt in die liste exzellenter artikel aufgenommen werden sollte. die geschichte von sin und cos sollte trotzdem noch hinzugefügt werden.

[Bearbeiten] Layout

in bezug auf Wikipedia Diskussion:Kandidaten für exzellente Artikel#Layout 800x600 und bevormundende Mechanismen : Kritik an diesem Artikel: Sinus und Kosinus - KEA von Portal:Mathematik, ein layout-kuddelmuddel vom feinsten! schon die erstem bilder reissen ein loch in den fliesstext (..ich weiss, das liegt am leidigen "TeX-zu-gross"-problem), das inhaltsverzeichnis ist so vollgestopft, dass es nicht mehr als ganzes auf den bildschirm passt, weiter unten noch eine animierte grafik, die das selbe problem hat (ich hab nicht verstanden, was die tut, weil ich die werte nicht gleichzeitig am schirm sehe) und zahlreich tabellen und formeln, die rechts abgeschnitten werden --08:34, 23. Okt 2005 (CEST)

ich habe (mit verweis auf #Bilder nicht maßstabstreu) das layout der einleitung überarbeitet. ich finde sie nun übersichlicher, und sie fliesst auch viel schöner: die minimalbreite ist jetzt nurmehr von TeX abhängig. auch die druckversion ist jetzt akzeptabel. --W!B: 18:38, 11. Dez 2005 (CET)
zur ani-grafik siehe Benutzer Diskussion:Ralf Pfeifer#:Bild:Einheitskreis Ani.gif
wenn aber nun der "zeitfresser" ausgelagert wäre, würde ich vorschlagen, die 4 noch vorhanden bilder nicht als thumb, sondern komplett ohne rand deutlich grösser zu plazieren. ihr informationswert beim lesen des textes ist (wegen der funseligen beschriftung) minimal. in Evolute oder Traktrix#Herleitung zb. ist zu besichtigen, welchen didaktischen wert eine proportionierte grafik zum verständnis des textes hat. --W!B: 19:27, 11. Dez 2005 (CET)
die TeX-Formeln nach der Methode von Gunther umgebrochen --W!B: 00:31, 12. Dez 2005 (CET)

Zu (2): Werde mich drum kümmern - mehr auf meiner Diskussionsseite: Benutzer Diskussion:Ralf Pfeifer#:Bild:Einheitskreis Ani.gif Ralf Pfeifer 22:34, 11. Dez 2005 (CET)

Erledigt - neue Version der Animation hochgeladen Ralf Pfeifer 07:13, 13. Dez 2005 (CET)

[Bearbeiten] Algorithmische Umsetzung von (Co)Sinus

Wie wird denn eigentlich Sinus und Cosinus algorithmisch in Programmiersprachen umgesetzt?

http://sources.redhat.com/cgi-bin/cvsweb.cgi/libc/README.libm?rev=1.4&content-type=text/x-cvsweb-markup&cvsroot=glibc und http://sources.redhat.com/cgi-bin/cvsweb.cgi/libc/sysdeps/ieee754/flt-32/?cvsroot=glibc, bei letzterem k_cosf.c für Cosinus und k_sinf.c für Sinus. Marcel Wiesweg 13:53, 5. Okt 2005 (CEST)

Zusammen mit der Division mit Rest in s_cosf.c, um das Argument kleinzumachen.--Gunther 14:02, 5. Okt 2005 (CEST)

Also allein mit dem Quelltext kann ich leider nichts anfangen, da wohl viel Mathematik dahinter steckt. Könnte jemand den Quelltext vielleicht ein wenig kommentieren? Vielleicht wäre es auch von allgemeinem Interesse zu wissen, wie das funktioniert - wie ein Taschenrechner einen sin(x) berechnet?

Hi, im Text ist ja, etwas versteckt, schon beschrieben, dass man allein mit Quadratwurzeln und Arithmetik auf einen Winkel von 3Grad bzw. 1/60 vom Halbkreis kommt. Man kann also eine gegebene Winkelgröße in den Bereich von -1.5..1.5Grad verschieben, evtl. noch einigemale (n-mal) halbieren, dann mittels sehr kurzer Potenzreihe den sin und daraus den cos bestimmen, mittels Additionstheoremen den "geometrischen Winkel"="Punkt auf Einheitskreis" n-mal verdoppeln und ebenfalls mittels Additionstheoremen um das zuvor abgezogene Vielfache von 3Grad drehen. 3Grad lassen sich auch durch die einfacheren 15Grad ersetzen. Es gibt auch effizientere Ansätze, die nicht so viele "lange Zahlen" wie Pi, diverse Wurzeln,... in der Rechnung benötigen.--LutzL 15:43, 1. Dez 2005 (CET)

== Bestimmung mit Genauigkeit 20 Dezimalstellen ==

Rechengenauigkeit 24 Dezimalstellen, bekannte Konstante: Pi/12, s15:=sin(Pi/12)= $(\sqrt6-\sqrt2)/4$ , c15:=cos(Pi/12)= $(\sqrt6+\sqrt2)/4$
Input: Winkel a im Bogenmass im ersten Quadranten.

- Bestimme m:=round(a/(Pi/12)); a:=a-m*(Pi/12);

- q:=a^2; c:=1, s:=1, f:=1,j:=1;

- Wiederhole 8 mal: { j:=j+1, f:=-f*q/j, c:=c+f, j:=j+1, f:=f/j, s:=s+f; }

- sina:=a*s, cosa:=c; (evtl. auf Einheitskreis bringen)

- Wiederhole m mal: { ca:=cos(Pi/12)*cosa-sin(Pi/12)*sina, sa:=sin(Pi/12)*cosa+cos(Pi/12)*sina, sina:=sa, cosa:=ca; }

Voila, Sinus und Kosinus vom Ausgangswinkel=(sina,cosa) (Runden auf Endgenauigkeit

--LutzL 15:43, 1. Dez 2005 (CET)--Aufwand reduziert--LutzL 11:02, 2. Dez 2005 (CET)

wow! sensationelle information! ob das nicht einen eigenen artikel verdient hat? schon die überschrift passt als Titel.. --W!B: 19:30, 11. Dez 2005 (CET)

Nette Einführung und schnelle Auswertung (auch auf parallel arbeitenden Architekturen) mit für viele Anwendungsfälle akzeptabler Genauigkeit beschreibt http://www.research.scea.com/research/pdfs/RGREENfastermath_GDC02.pdf, auch wenn noch ein paar Fehler drin sind... --Horrorist 21:53, 13. Dez 2005 (CET)

[Bearbeiten] Geschichte des Sinus und Kosinus

Um mal das Erstellen eines Abschnittes über die Geschichte von Sinus und Kosinus in Gang zu bringen (auch wenn ich selber keine Zeit habe, was zu schreiben): Auf [1] steht etwas zur Geschichte. Auf die Seite wird auch vom Artikel Trigonometrie aus verwiesen und der Inhalt zum Teil verwendet. Die sinus- und kosinus-spezifischen Teile aber noch nicht. Die könnte man hier noch einfügen, falls die Quelle vertrauenswürdig und nicht durch urheberrechtlich geschützt ist. Man könnte auch einfach mal per Mail dort nachfragen.--Limburg 22:35, 9. Okt 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Abstimmung: Differentiation von Sinus und Kosinus in eigenen Artikel auslagern

Weil hier immer wieder kritisiert wird, dass der Artikel zu lang ist, möchte ich über folgenden Vorschlag abstimmen: Den "Spezialabschnitt" Berechnung der ersten Ableitung in einen eigenen Artikel Differentiation von Sinus und Kosinus auszulagern. Um die Versionsgeschichte zu erhalten: das erste Drittel stammt im Wesentlichen von Benutzer:Petflo2000, 13. Jan 2005; der Rest im Wesentlichen von mir. Als Analogie könnte man z.B. Beweis der Irrationalität der Eulerschen Zahl hernehmen, wo auch das "Minderheitenprogramm" in einen eigenen Artikel ausgelagert wurde. Abstimmungsdauer: bis einschließlich 21.12.2005. --NeoUrfahraner 07:19, 14. Dez 2005 (CET)

Ich habe grundsätzlich nichts dagegen die Beweise auszulagern. Ich hatte hierzu schon mal eine Diskussion angeregt solche Beweise auszulagern (steht jetzt unter Diskussion:Portal_Mathematik/Archiv2#Beweise_von_mathematischen_Formeln). Da wir gerade bei den Winkelfunktionen sind: Bei dieser Gelegenheit würde ich auch gerne die Diskussion über entbehrliche Klammern bei Winkelfunktionen noch einmal anregen. Z.B. $\sin (x) \,$ $\sin x \,$ Ich stelle immer wieder fest, dass das immer wieder unterschiedlich gehandhabt wird und dass auch meine Beiträge mit Klammern ergänzt wurden (ich bin eigentlich gegen die Klammern). Zu meiner Schande muss ich allerdings auch eingestehen in anderen Beiträgen auch schon Klammern entfernt habe. Ich kenne auch kaum mathematische Literatur in der entbehrliche Klammern benutzt werden. Warum soll das bei Wikipedia eigentlich anders sein. Die Diskussion wurde hier Diskussion:Portal_Mathematik/Archiv2#Entbehrliche_Klammern_bei_Winkelfunktionen und hier Diskussion:Portal_Mathematik/Archiv2#sin_x_oder_sin.28x.29.3F schon geführt, hat aber bisher noch kein abschließendes Ergebnis erbracht.Petflo2000 10:38, 14. Dez 2005 (CET)

Die Beteiligung war zwar nicht gerade großartig, da aber keine Gegenstimmen vorliegen und die Hautautoren mit ja stimmen, habe ich jetzt den Artikel Differentiation der Sinusfunktion angelegt. --NeoUrfahraner 21:14, 29. Dez 2005 (CET)

@NeoUrfahraner: Ich weiss nicht ob du diese Diskussion Portal Diskussion:Mathematik#Beweisarchiv schon mitbekommen hast und wie du dazu stehst. Vielleicht hätte man die Beweise gleich dorthin verschieben sollen. Es ist zwar noch sehr im Aufbau, aber ich habe schon einige Beweise probeweise dorthin kopiert. Wenn dieses angenommen wird, kann man die Beweise später auf WP löschen und nur dorthin verlinken. --Petflo2000 11:29, 30. Dez 2005 (CET)

Der Artikel steht jetzt in den Wikibooks unter b:Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion. Differentiation der Sinusfunktion habe ich mit einem Löschantrag versehen. --NeoUrfahraner 16:23, 30. Dez 2005 (CET)

Bestens: Habe die Verschiebung nach Wikibooks schon gesehen. Langsam wird es da dann ja etwas voller. --Petflo2000 16:42, 30. Dez 2005 (CET)

[Bearbeiten] Nochmals Umkehrfunktion

Kurze Zwischenfrage: Unter Umkehrfunktion / Stetigkeit steht die Formel: : $\cos x: [0^\circ, 180^\circ]\to[-1,1]$ müsste das nicht umgekehrt sein? : $\cos x: [0^\circ, 180^\circ]\to[1,-1]$
Cold ice 09:00, 24. Jan 2006 (CET)

Kurze Antwort: nein. Längere Antwort:

[a, b]

steht für die Menge $\lbrace x\in \R | a\leq x \leq b\rbrace$ ;

[1, - 1]

ist also leer. Du willst darauf hinaus, dass

cos x

monoton fallend ist; über das Monotonieverhalten sagt diese Schreibweise aber nichts aus. --NeoUrfahraner 09:23, 24. Jan 2006 (CET)

Ah klar, k danke! Cold ice 19:54, 24. Jan 2006 (CET)

[Bearbeiten] Fusion?

Wäre eine Fusion mit folgendem Artikel: http://de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrische_Funktion nicht angebracht? (Vorstehender nicht signierter Beitrag stammt von 66.156.29.241 (Diskussion • Beiträge) 23:54, 29. Mär 2006)

Nein.--Gunther 23:58, 29. Mär 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Einige Gedanken zu diesem Artikel

Irgendwie fehlt mir eine einheitliche Linie im Bezug auf Grad und Bogenmaß. Bei den Additionstheoremen stehts in Grad, bei Zusammenhang zwischen Kosinus und Sinus wieder mit PI,... mir persönlich täte alles sowieso mit dem Bogenmaß besser gefallem.

Weiters wollte ich über die Definitionen was andiskutieren. Wäre es nicht besser, zuerst alles am Einheitskreis zu definieren. Die Definition mit dem rechtwinkeligen Dreieck könnte man dann als Folgerung mit Hilfe des Strahlensatzes auf jedes Dreieck anwenden. Ich finde, so kommt es sehr gut rüber, warum der Sinus und Cosinus bei jedem ähnlichen rechtwinkeligen Dreieck gleich ist (eben wegen des Strahlensatzes) (Vorstehender nicht signierter Beitrag stammt von Rapoldc (Diskussion • Beiträge) 15:38, 12. Mai 2006)

Schwierige Frage. Letzlich kommt es sehr auf den Leser drauf an. Für den mathematisch gebildeten Leser ist der Vorschlag von Dir eleganter; bleibt man bei Grad, erreicht man aber mehr "Normalverbraucher". Wer Bogenmaß kennt, kennt auch Grad; umgekehrt glaube ich aber, dass viele, denen Grad was sagt, mit Bogenmaß nicht viel anfangen können. Ähnliches gilt mit Dreieck vs. Einheitskreis: Die Definition am Einheitskreis ist zweifellos eleganter; die Definition am Dreieck ist aber nach meiner Einschätzung leichter verständlich. Recht hast Du aber damit, dass die Bogenmaß/Grad Sache im Artikel nicht konsequent durchgezogen ist. Insbesondere fehlt an manchen Stellen der Hinweis, dass gewisse Formeln nur im Bogenmaß gelten. Ich werde es ergänzen. --NeoUrfahraner 18:19, 12. Mai 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Bedeutet der Name "Kosinus" wirklich "Sinus des Komplementärwinkels"?

Dass der Kosinus eines Winkels gleich dem Sinus des Komplementärwinkels ist, heißt noch nicht, dass der Name Kosinus diese Bedeutung hat. Wenn "co" die lateinische Vorsilbe ist, die Zusammengehörigkeit ausdrückt, dann ist es wohl naheliegender, das unmittelbar auf Sinus und Kosinus zu beziehen.

Auf der englischen Wiki-Seite steht, dass schon Aryabhata (um 500 n.Chr.) die Namen "jiva" und "kojiva" für Sinus und Cosinus verwendet hat - was unmittelbar nichts erklärt, aber zusätzlich zu beachten wäre.

Ich habe den Satz vorläufig gestrichen. Vielleicht findet sich jemand, der mehr dazu sagen kann. --NeoUrfahraner 06:23, 15. Mai 2006 (CEST)

Ich habe jetzt eine Quelle gefunden und den Satz daher mit Quellenangabe wieder in den Artikel eingebaut. Wenn jemand abweichende Theorien belegen kann, kann man sie ja dazufügen. --NeoUrfahraner 08:44, 24. Mai 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Algebraische Funktionswerte

Im Artikel steht zwar, dass sin(3°) und alle Sinuswerte von Vielfachen von 3° algebraisch bestimmbar sind, aber ich fänd es gut, wenn die Formel dafür auch angegeben werden würde. Welche Sinuswerte sind noch algebraisch exakt bestimmbar? --RokerHRO 21:17, 1. Jun 2006 (CEST)

Zunächst mal: "Algebraisch" im Sinne von algebraische Zahl sind alle Funktionswerte

sin r π

mit $r\in\mathbb Q$ (und noch weitere). Mit angegebenen Werten von $\sin15^\circ$ und $\sin18^\circ$ kann man im Prinzip

$\sin3^\circ=\sin18^\circ\cos15^\circ-\cos18^\circ\sin15^\circ =\sin18^\circ\sqrt{1-\sin^215^\circ}-\sqrt{1-\sin^218^\circ}\sin15^\circ$

hinschreiben, und für weitere Werte kann man

$\sin n\alpha=n\cos^{n-1}\alpha\sin\alpha-{n\choose3}\cos^{n-3}\alpha\sin^3\alpha+{n\choose5}\cos^{n-5}\alpha\sin^5\alpha-+\ldots$

verwenden. Letztere Formel steht schon unter Formelsammlung Trigonometrie#Winkelfunktionen für weitere Vielfache, aber ansonsten sehe ich nur einen Zahlenwust ohne Erkenntnisgewinn.--Gunther 22:39, 1. Jun 2006 (CEST)

Ich verstehe die Frage eher so, dass es da um die Winkel geht, die von der Gestalt $\alpha=k\frac{360^\circ}{2^np_1\dots p_r}$ sind, wobei die $p_i\;$ Fermatsche Primzahlen sind. --NeoUrfahraner 22:46, 1. Jun 2006 (CEST)

Eine andere Deutung wäre noch: durch reelle Radikale angebbar. Habe mir nie überlegt, was dabei herauskommt.--Gunther 22:55, 1. Jun 2006 (CEST)

Danke erstmal soweit für eure Antworten. :-) Ich wollte halt, ausgehend davon, dass der Sinus von 30°, 45°, 60° ja noch durch recht kompakte Ausdrücke exakt angegeben weren kann, wissen, für welche Winkel ebenfalls "hübsche kompakte Ausdrücke" existieren, und für welche eben überhaupt ein exakter endlicher "Formelausdruck" (mal salopp formuliert) angegeben werden kann. Wenn man z.B. eine Formel für sin(1°) hat, kann man daraus ja alle Sinuswerte im 1-Grad-Abstand exakt bestimmen. (Und für 30°, 45°, 60° müssen dann ja wieder die bereits angegebenen einfachen Ausdrücke herauskommen, sofern man sich nicht verrechnet hat ;-)). Außerdem, vielleicht gibt es ja auch für andere, nicht rationale aber doch "einfache irrationale" Winkel einen überaschend einfachen Sinuswert. Also für $\sin\left(\frac{90^\circ}{\sqrt{2}}\right)$ oder Ähnliches. Versteht ihr, was ich meine? Klar, der praktische Nutzen dieser Formeln ist eher gering, der Computer liefert ja eine beliebig genaue Näherung auf Knopfdruck. Es geht mir halt ein wenig um die "Schönheit der Mathematik". :-) --RokerHRO 23:21, 1. Jun 2006 (CEST)

Ich könnte mir eine Formulierung folgender Art vorstellen:

$\sin\alpha\;$ und $\cos\alpha\;$ sind zumindest dann explizit darstellbar, wenn der Winkel $\alpha\;$ mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn also $\alpha\;$ von der Gestalt $\alpha=k\frac{360^\circ}{2^np_1\dots p_r}$ ist, wobei $k\in\Z\;$ , $n\in\N_0\;$ und die $p_i\;$ für $i=1,\dots,r\;$ Fermatsche Primzahlen sind (vgl. Emil Artin: Galoissche Theorie. Verlag Harri Deutsch, Zürich 1973, ISBN 3-87144-167-8, S 85.).

Daneben gibt es natürlich noch andere Winkel, deren Sinus explizit darstellbar sind, z.B. gilt natürlich für $\alpha=\arcsin\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\approx 52,53^\circ$ , dass $\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ , ich glaube aber nicht, dass diese Winkel besonderes "interessant" sind.

Soll irgendetwas dieser Art in den Artikel eingebaut werden? --NeoUrfahraner 08:21, 2. Jun 2006 (CEST)

Also obige Formel, welche Sinuswerte explizit darstellbar sind, sollte auf jeden Fall in den Artikel mit eingeflochten werden, finde ich. Ich bin mir nur im Moment nicht ganz sicher, wo... :-) --RokerHRO 09:06, 2. Jun 2006 (CEST)

Evtl. als letzter Satz im Abschnitt "Weitere mit Wurzeln angebbare Funktionswerte"? --NeoUrfahraner 09:48, 2. Jun 2006 (CEST)

Hm, ja da passt es im Moment am besten hin, denke ich. Aber so richtig gefällt mir der Aufbau des Artikels eh nicht. Aber das umzubauen, ist aufwändig. Sowohl technisch als auch ... sozial, denn sowas erfordert sicher auch einen breiten Konsens. ;-) --RokerHRO 09:51, 2. Jun 2006 (CEST)

Ich hab's jetzt dort eingebaut. --NeoUrfahraner 10:12, 2. Jun 2006 (CEST)

Damit bin ich ziemlich wenig einverstanden. Ich kann $\sin1^\circ$ ohne weiteres als $(\sqrt[3]{z}-\sqrt[3]{\bar z})/2$ mit $z=\cos3^\circ+\mathrm i\sin3^\circ$ (also einem explizit angebbaren Wurzelausdruck) darstellen. Was ist also besonders an den angegebenen Winkeln (außer dass man bei ihnen mit Quadratwurzeln auskommt)?--Gunther 10:28, 2. Jun 2006 (CEST)

Darum steht ja "zumindest" und der Verweis auf Zirkel und Lineal dort. Es stimmt aber, dass das Wort "explizit" präzisiert ("dass man mit Quadratwurzeln auskommt") gehört, ansonsten könnte man tatsächlich auch Werte wie $\Re\left(\sqrt[180]{-1}\right)$ nehmen. Evtl. sollte die Überschrift besser "Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte" lauten. --NeoUrfahraner 10:46, 2. Jun 2006 (CEST)

Die Präzisierung, die vermutlich die meisten zufriedenstellen dürfte, habe ich ja oben schon angegeben: Durch reelle Wurzeln angebbar. Aber leider kenne ich dazu die Antwort nicht.--Gunther 10:50, 2. Jun 2006 (CEST)

Ich habe es jetzt im Text ausdrücklich auf Quadratwurzeln eingeschränkt, das ist ja der bekannte Teil ("zumindest dann" müßte man eigentlich jetzt auf "genau dann" ändern können). Zur Antwort auf die allgemeinere Frage nach reellen Wurzeln weiß ich leider auch nichts. --NeoUrfahraner 13:35, 2. Jun 2006 (CEST)

Nein, für "genau dann" müsste man noch auf rationale Vielfache von

π

einschränken. Das steht momentan auch falsch im Artikel.--Gunther 13:45, 2. Jun 2006 (CEST)

Das verstehe ich jetzt nicht. Momentan sind es ja nicht alle rationalen Vielfache von

π

einschränken, "rationale Vielfache von

π

" wäre alse eine Erweiterung, keine Einschränkung. --NeoUrfahraner 13:55, 2. Jun 2006 (CEST)

Der Winkel

arctan1 / 2

ist konstruierbar.--Gunther 13:56, 2. Jun 2006 (CEST)

OK. Ich hab's so formuliert, dass der zweite Teil keine Äquivalenz ist. --NeoUrfahraner 14:07, 2. Jun 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Belege

Literaturhinweise wären vor allem bei den Behauptungen sinnvoll, dass man dieses oder jenes als Definition des Sinus wählen kann und trotzdem alle schönen Eigenschaften erhält, die man nun wirklich in jedem Analysis-Buch/-Skript oder im Bronstein nachschlagen kann.--Gunther 22:46, 12. Okt. 2006 (CEST)

Von „http://de.wikipedia.org../../../s/i/n/Diskussion%7ESinus_und_Kosinus_ac5b.html“

Diskussion:Sinus und Kosinus

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Tex Befehle

[Bearbeiten] Anmerkung

[Bearbeiten] Überarbeiten

[Bearbeiten] Sinus und Kosinus

[Bearbeiten] Anmerkung

[Bearbeiten] Wo sind die Bilder?

[Bearbeiten] Stetigkeit und Differenzierbarkeit

[Bearbeiten] Definition als Produktentwicklung

[Bearbeiten] Methode zur Berechnung sin(x)

[Bearbeiten] Umkehrfunktion

[Bearbeiten] Bilder nicht maßstabstreu

[Bearbeiten] Exzellenz-Diskusion

[Bearbeiten] Layout

[Bearbeiten] Algorithmische Umsetzung von (Co)Sinus

[Bearbeiten] Geschichte des Sinus und Kosinus

[Bearbeiten] Abstimmung: Differentiation von Sinus und Kosinus in eigenen Artikel auslagern

[Bearbeiten] Nochmals Umkehrfunktion

[Bearbeiten] Fusion?

[Bearbeiten] Einige Gedanken zu diesem Artikel

[Bearbeiten] Bedeutet der Name "Kosinus" wirklich "Sinus des Komplementärwinkels"?

[Bearbeiten] Algebraische Funktionswerte

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