Beweis der Irrationalität der Eulerschen Zahl

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Der Beweis der Irrationalität der Eulerschen Zahl $e$ ist mit elementaren Mitteln der Analysis als Widerspruchsbeweis durchführbar. Er wurde zuerst 1737 von Leonhard Euler in der hier angegebenen Weise geführt.

Der Beweis, dass $e$ sogar transzendent ist, ist komplizierter und wurde zuerst 1873 von Charles Hermite geführt.

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Annahme

Wir starten mit der von Leonhard Euler stammenden Darstellung der Eulersche Zahl $e$ als Reihe

$e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}$ .

Wie sich leicht zeigen lässt, gilt $2<e<3\!$ .

Wir nehmen nun an, die reelle Eulersche Zahl $e$ sei rational. Dann ließe sie sich als vollständig gekürzter Bruch $e = \frac{p}{q}$ mit $p, q \in \mathbb{N}$ darstellen. Wir multiplizieren die Reihenentwicklung mit $q!$ , womit wir diese neue Reihe erhalten:

$\begin{matrix} \underbrace{q! \cdot e} &=& \\ \in \mathbb{N} \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{q! + \frac{q!}{1!} + \frac{q!}{2!} + \frac{q!}{3!} + \cdots + \frac{q!}{q!}} &+& \\ N \in \mathbb{N} \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{\frac{q!}{(q+1)!} + \frac{q!}{(q+2)!} + \cdots} \quad &(*)& \\ 0 < M < 1 \end{matrix}$

[Bearbeiten] Linke Seite

Es ist $q! \cdot e = q! \cdot \frac{p}{q} = (q-1)! \cdot p \in \mathbb{N}$ , da nach Voraussetzung $p, q \in \mathbb{N}$ .

[Bearbeiten] Rechte Seite, erste Teilsumme

Die Glieder $q!$ bis $\frac{q!}{q!} = 1$ auf der rechten Seite der Gleichung $( * )$ sind ebenfalls alle natürlich, da alle Nenner $1!$ bis $q!$ Teiler des Zählers $q!$ sind. Die Summe dieser natürlichen Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl.

[Bearbeiten] Rechte Seite, zweite Teilsumme

Die Summe aller Glieder, vom Glied $\frac{q!}{(q+1)!}$ ist größer 0, da alle Zähler und Nenner von Null verschieden und positiv sind, und zudem kleiner 1, wie folgende Überlegung zeigt:

Das erste Glied ist $\frac{q!}{(q+1)!} = \frac{1}{q+1} < \frac{1}{2}$ , da $q > 1$ , das zweite Glied ist $\frac{q!}{(q+2)!} = \frac{1}{(q+1)(q+2)} < \frac{1}{4}$ , das dritte Glied ist $< \frac{1}{8}$ , etc.

Die Summe dieser oberen Schranken ist eine unendliche, so genannte geometrische Reihe und konvergiert:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots \ = \ \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^i} \ = \ \frac{1}{2} \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{2^i} \ = \ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} \ = \ 1$ .

Für die zweite Teilsumme $M$ gilt also $0 < M < 1$ , daher ist $M$ keine natürliche Zahl.

[Bearbeiten] Widerspruch

Der Ausdruck $( * )$ führt zu dem gewünschten Widerspruch, da die rechte Seite, $N + M$ , anders als die linke Seite, $q! \cdot e$ , keine natürliche Zahl ist.