Satz des Thales
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Der Satz des Thales ist ein Satz der Geometrie und ein Spezialfall des Umfangswinkelsatzes. Der erste Beweis wird dem griechischen Mathematiker und Philosophen Thales von Milet zugeschrieben. In der Antike war der Satz in empirischer Form bereits den Ägyptern und Babyloniern bekannt.
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[Bearbeiten] Definition
Seine kürzeste Formulierung lautet:
- Alle Winkel am Halbkreisbogen sind rechte Winkel.
Die exakte Formulierung: Konstruiert man ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises (dem Thaleskreis) und einem weiteren Punkt dieses Kreises, erhält man immer ein rechtwinkliges Dreieck.
Umgekehrt liegt der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks immer in der Mitte der Hypotenuse, also jener (längsten) Seite des Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.
[Bearbeiten] Beweis
Zum Beweis werden zwei ebenfalls von Thales bewiesene Sätze benötigt:
- Die beiden Winkel an der Grundseite (Basiswinkel) eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich groß.
- Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°.
ABC sei ein Dreieck innerhalb eines Kreises mit [AB] als Kreisdurchmesser und dem Radius r. Dann ist der Mittelpunkt M der Strecke AB auch der Kreismittelpunkt. Die Streckenlängen AM, BM und CM sind also gleich dem Radius r.
Damit sind die Dreiecke ACM und BCM jeweils gleichschenklig. Die Basiswinkel, also die Winkel an der Grundseite sind daher jeweils gleich (α und β in der Abbildung).
Die Winkelsumme im Dreieck ABC beträgt 180°:
Dividiert man diese Gleichung durch 2, so ergibt sich
.
Damit ist gezeigt, dass der Winkel α + β im Punkt C ein rechter Winkel ist.
Einen weiteren Beweis findet man hier: Kreiswinkel.
[Bearbeiten] Verallgemeinerung
Der Satz des Thales ist ein Spezialfall des Peripheriewinkelsatzes (Umfangswinkelsatzes).
[Bearbeiten] Anwendungen
Eine der wichtigsten Anwendungen des Thaleskreises ist die Konstruktion einer Tangente aus einem Punkt an einen Kreis:
Da die durch den Punkt P verlaufende Tangente den Kreis genau im Punkt T berührt, muss das Dreieck MPT einen rechten Winkel im Punkt T haben, oder anders formuliert: Die Strecke MT steht genau senkrecht auf der Tangente t.
Die beiden Punkte M und P sind gegeben, von T wissen wir nur, dass er irgendwo auf der Kreislinie k liegen muss. Würde man nur diese Bedingung berücksichtigen, könnte man unendlich viele verschiedene Dreiecke MPT einzeichnen.
Um das einzige Dreieck MPT zu finden, welches auch rechtwinkelig ist, zeichnen wir einen Halbkreis um den Mittelpunkt H der Strecke MP und machen uns das Prinzip des Thaleskreises zu nutze: Alle Dreiecke mit der Basis MP, deren dritter Eckpunkt auf dem Thaleskreis liegt, sind rechtwinkelig. Dies gilt natürlich auch für das Dreieck MPT.
Der Tangentialpunkt T kann deshalb nur am Schnittpunkt des Kreises k mit dem hellgrauen Thaleskreis liegen.
Es existiert eine zweite, symmetrische Lösung an der unteren Hälfte des Kreises. Die zweite Tangente t' berührt den Kreis im Punkt T'.
Eine weitere Anwendung ist die Quadratur des Rechtecks.
