Satz (Mathematik)
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Ein Satz ist in der Mathematik und in der Logik eine neue Erkenntnis, die ausgehend von Axiomen, Definitionen und bereits bekannten Sätzen formuliert wird. Damit die Aussage eines Satzes anerkannt wird, muss sie bewiesen werden. Strenggenommen handelt es sich dabei um eine durch die klassische Prädikatenlogik legitimierte Folge von Schlussfolgerungen. Alternative Logiken wie etwa in der konstruktiven Mathematik spielen in der Mathematik eine untergeordnete Rolle.
Normalerweise werden Sätze nach ihrer Bedeutsamkeit in eine Hierarchie eingegliedert, die aufsteigend geordnet so aussieht:
- Lemma (Hilfssatz im Beweis eines wichtigeren Satzes)
- Korollar (Sammlung von Feststellungen oder Folgerungen, die sich aus einem Satz oder einer Definition ohne großen Aufwand ergeben. Oft auch Schlussfolgerung)
- Proposition (logische Aussage)
- Satz oder auch Theorem (Lehr- und Grundsatz. Theorem ist ein veraltender Ausdruck, im Englischen sowie im Russischen oder bei seit langem bekannten Sätzen aber noch gebräuchlich.)
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[Bearbeiten] Aufbau
[Bearbeiten] Formulierung
Ein Satz besteht aus einer Voraussetzung, die aus mehreren Teilen bestehen kann, und einer Behauptung. Die Aussage des Satzes folgt der Form „Voraussetzung ⇒ Behauptung“, die gebräuchliche sprachliche Formulierung ist „Unter der Voraussetzung V gilt die Behauptung B“.
[Bearbeiten] Beispiele
- „Wenn es regnet, dann wird die Straße nass.“ (kein Satz im mathematischen Sinne)
- Aus der ebenen Geometrie: „Wenn ein Viereck ein Parallelogramm ist, dann haben gegenüberliegende Seiten die gleiche Länge.“
Genauere Informationen dazu findet man unter Implikation.
[Bearbeiten] Umkehrsatz
Vertauscht man in einem Satz Voraussetzung und Behauptung, erhält man den zugehörigen Umkehrsatz. Das sind Aussagen der Form „Behauptung ⇒ Voraussetzung“ oder „Wenn die Behauptung B gilt, dann folgt die Voraussetzung V“.
- Wenn der Satz wahr ist und der Umkehrsatz falsch ist, dann ist die Voraussetzung hinreichend, aber nicht notwendig; sie genügt um den Satz zu beweisen.
- Wenn der Satz falsch ist und der Umkehrsatz wahr ist, dann ist die Voraussetzung notwendig, aber nicht hinreichend; man muss die Voraussetzung erweitern um den Satz zu beweisen.
- Wenn der Satz und der Umkehrsatz wahr sind, dann ist die Voraussetzung notwendig und hinreichend. In diesem Fall kann man Satz und Umkehrsatz zur Aussage „Voraussetzung ⇔ Behauptung“ oder „Die Behauptung B ist wahr genau dann, wenn die Voraussetzung V erfüllt ist“, bzw. „Die Voraussetzung V impliziert die Behauptung B und umgekehrt“ zusammenfassen.
[Bearbeiten] Beispiele
- „Wenn die Straße nass ist, dann hat es geregnet.“ Dieser Umkehrsatz ist falsch, das Wasser könnte auch anders auf die Straße gekommen sein. Die Voraussetzung „es hat geregnet“ ist somit hinreichend, aber nicht notwendig.
- „Wenn in einem Viereck gegenüberliegende Seiten die gleiche Länge haben, dann ist es ein Parallelogramm.“ Dieser Umkehrsatz ist wahr. Da auch der Satz wahr ist, ist die Voraussetzung notwendig und hinreichend. Man kann Satz und Umkehrsatz zusammenfassen: „Ein Viereck ist ein Parallelogramm genau dann, wenn die gegenüberliegenden Seiten die gleiche Länge haben.“
[Bearbeiten] Abhängigkeit von der Aufteilung in Voraussetzung und Behauptung
Es ist möglich, dieselbe logische Aussage auf verschiedene Weisen in Voraussetzung und Behauptung aufzuteilen, und der Umkehrsatz hängt von dieser Aufteilung ab.
Die logische Aussage 
("nicht A oder nicht B oder C") lässt sich zum Beispiel auf die folgenden Weisen als Satz aufschreiben:
("Aus A und B folgt C"). Umkehrsatz: 
("Aus C folgt A und B").
("Aus A folgt nicht B oder C"; der Satz behauptet nicht, wie man an der ausgesprochenen Form ablesen könnte, die Ungültigkeit der Folgerung "Aus A folgt B oder C"). Umkehrsatz: 
("Aus nicht B oder C folgt A").
Die beiden Umkehrsätze sind nicht gleichwertig: Wenn die Teilaussagen A und C wahr sind und B falsch ist, dann sind beide Sätze wahr, aber der erste Umkehrsatz ist falsch und der zweite ist wahr.
