Residuum (Funktionentheorie)
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In der Funktionentheorie ist das Residuum einer komplexwertigen Funktion ein Hilfsmittel zur Berechnung von komplexen Kurvenintegralen mit Hilfe des Residuensatzes.
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[Bearbeiten] Definition
Ist ein Gebiet, Df isoliert in D und holomorph, so existiert zu jedem Punkt eine punktierte Umgebung , die relativ kompakt in D liegt, mit f | U holomorph. Diesenfalls besitzt f auf U eine Laurententwicklung . Dann definiert man für das Residuum von f in a
- .
Nach dem Cauchyschen Integralsatz verschwindet das Residuum, wenn f in a holomorph ist. An der Integraldarstellung erkennt man insbesondere, dass man eigentlich vom Residuum der Differentialform f(z)dz sprechen sollte. Dies wird beispielsweise auch dann klar, wenn eine isolierte Singularität von f ist, denn dann definiert man
- .
Beachte hierbei, dass mit gilt:
[Bearbeiten] Praktische Berechnung
Folgende Regeln können zur Berechnung von Residuen von komplexwertigen Funktionen f,g im Punkt in der Praxis verwendet werden:
- Das Residuum ist -linear, d.h. für gilt:
- Hat f in a eine Polstelle 1. Ordnung, dann gilt:
- Hat f in a eine Polstelle 1. Ordnung und ist g in a holomorph, dann gilt:
- Hat f in a eine Polstelle n-ter Ordnung, dann gilt:
- Hat f in a eine Nullstelle 1. Ordnung, dann gilt:
- Hat f in a eine Nullstelle 1. Ordnung und ist g in a holomorph, dann gilt:
- Hat f in a eine Nullstelle n-ter Ordnung, dann gilt: .
- Hat f in a eine Nullstelle n-ter Ordnung und ist g in a holomorph, dann gilt: .
- Hat f in a eine Polstelle n-ter Ordnung, dann gilt: .
- Hat f in a eine Polstelle n-ter Ordnung und ist g in a holomorph, dann gilt: .
Die Regeln über die logarithmische Ableitung sind in Verbindung mit dem Residuensatz auch von theoretischem Interesse.
[Bearbeiten] Beispiele
- Wie bereits erwähnt, ist , wenn f in a holomorph ist.
- Ist , so hat f in 0 einen Pol 1. Ordnung, und es ist .
- , wie man sofort mit der Linearität und der Regel von der logarithmischen Ableitung sieht, denn hat in 1 eine Nullstelle 1. Ordnung.
- Die fortgesetzte Gammafunktion hat in − n für Pole 1. Ordnung, und das Residuum dort ist .
[Bearbeiten] Algebraische Sichtweise
Es seien k ein Körper und X eine zusammenhängende reguläre eigentliche Kurve über k. Dann gibt es zu jedem abgeschlossenen Punkt eine kanonische Abbildung
die jeder meromorphen Differentialform ihr Residuum in x zuordnet.
Ist x ein k-rationaler Punkt und t eine lokale Uniformisierende, so kann die Residuenabbildung wie folgt explizit angegeben werden: Ist ω eine meromorphe Differentialform und eine lokale Darstellung, und ist
die Laurentreihe von f, so gilt
Insbesondere stimmt das algebraische Residuum im Fall mit dem funktionentheoretischen überein.
Das Analogon des Residuensatzes ist richtig: Für jede meromorphe Differentialform ω ist die Summe der Residuen null:
[Bearbeiten] Literatur
- John Tate, Residues of differentials on curves. Annales scientifiques de l'É.N.S. 4e série, tome 1, no 1 (1968), S. 149–159. DJVU/PDF
- Eine Konstruktion der algebraischen Residuenabbildung.