留数

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解析学において、解析関数 f(z) の孤立特異点 z = a における微分形式 f(z)dz の留数（りゅうすう、residue）Res_z=af(z) とは、以下の積分によって得られる値のことである：

${\rm Res}_{z=a}f(z) := \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma f(z)dz.$

ただし、i は虚数単位、積分路 γ は点 z = a を中心とする十分小さな円（実際には、積分路は、それが複素数平面から切り取る有界領域が z = a 以外に f(z) の特異点を含まなければ、どんな単純閉曲線でも良い）。

後述する留数定理を用いると、複雑な関数の積分がその関数の特異点における留数の計算に帰着されるなど、留数は複素関数論における強力な道具の一つとなっている。これは実領域における積分の計算にも威力を発揮する。

[編集] 留数の計算

冒頭の条件の下、複素解析関数 f(z) は孤立特異点 z = a の周りでローラン展開される：

$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z-a)^n.$

この収束は γ 上で一様収束するから、項別積分可能で

$\oint_\gamma f(z)dz = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n \oint_\gamma (z-a)^n dz$

となるが、コーシーの積分定理などを用いれば、右辺は n = -1 のところを除いて 0 となり、

$\oint_\gamma f(z)dz = a_{-1}\cdot 2\pi i$

（ここに現れる 2πi は自然対数 ln の偏角のずれの分である）。したがって、

Res z = a f (z) = a - 1

となることがわかる。ゆえに、ローラン展開を計算できる関数の留数は直ちにわかる。またこのとき、孤立特異点 z = a が f(z) の n 位の極であるなら、(z - a)ⁿf(z) は正則で、とくに

$(z-a)^n f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_{k-n}(z-a)^k$

とテイラー展開されるので、

${\rm Res}_{z=a}f(z) = a_{-1} = {1\over (n-1)!}\lim_{z\to a}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}(z-a)^n f(z)$

と計算することができる。

[編集] 留数定理

単純閉曲線 γ と、γ が囲む有界領域 D を考える。D 上で定義される関数 f(z) が D 内に孤立特異点 a₁, a₂, ..., a_n をもち、それ以外で正則であるならば、

$\oint_\gamma f(z)dz = 2\pi i\sum_{i=1}^n {\rm Res}_{z=a_i}f(z)$

が成り立つ。ただし、積分は γ を D の内点からの偏角が正の向き（領域を左に望む方向）に進む。これを留数定理と呼ぶ。

[編集] 実領域での積分への応用

留数定理を用いて、例えば次のような積分が計算できる：

$\int_{-\infty}^\infty {dx \over (1+x^2)^{n+1}}.$

f(x) = 1 /(1 + x²)ⁿ⁺¹ とおく。を一旦複素領域へ拡張して f(z) を考え、適当な R > 0 を取って、区間 [-R, R] を直径とする原点中心の半円（z = i を含むもの）を C₀ とする。半円 C₀ から直径を除いた周を C とすると、実軸上を正の向きに進むように C₀ を積分路として

(*) $\int_{C_0}{dz\over(1+z^2)^{n+1}} = \int_{-R}^R {dx\over(1+x^2)^{n+1}} + \int_{C}{dz\over(1+z^2)^{n+1}}$

である。このとき R が十分大きければ R に依らず、C₀ の囲む領域内で f(z) は n + 1 位の極 z = i をもち、それ以外で特異点を持たないから、留数定理により (*) の左辺は

$2\pi i\,{\rm Res}_{z=i}f(z) = {2\pi i\over n!}\lim_{z\to i} {d^n\over dz^n}\left(\frac{(z-i)^{n+1}}{(1+z^2)^{n+1}}\right)$

$= {2\pi i\over n!}\left. {d^n\over dz^n}{1\over(z+i)^{n+1}} \right|_{z=i} = {\pi(2n)! \over 2^{2n}(n!)^2}$

となる。一方、(*) の右辺の第二項は R → ∞ のとき 0 に収束するので、結局

${\pi(2n)! \over 2^{2n}(n!)^2} = \int_{-\infty}^\infty {dx \over (1+x^2)^{n+1}}$

を得ることになる。

[編集] 偏角の定理

留数定理の系として、次のような定理を得ることができる：

単純閉曲線 γ の囲む有界領域 D の閉包を E とし、E 上で定義される有理型関数 f(z) は γ 上に極も零点も持たないとする。このとき、f(z) の D 内での零点と極は有限個である。重複度まで込めた零点の個数を n, 極の個数を m とすると

$\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma \frac{f'(z)}{f(z)}dz = n-m$

が成り立つ。これを偏角の定理と言う。さらに一般に、重複度込みで零点が a₁, a₂, ..., a_n、極が b₁, b₂, ..., b_m であるとすると、E 上の任意の正則関数 g(z) に対して

$\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma g(z)\frac{f'(z)}{f(z)}dz = \sum_{j=1}^n g(a_j) - \sum_{k=1}^m g(b_k)$

が成立する。

[編集] 関連項目

コーシーの積分定理
ルーシェの定理

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目次

[編集] 留数の計算

[編集] 留数定理

[編集] 実領域での積分への応用

[編集] 偏角の定理

[編集] 関連項目

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