Logarithmische Ableitung

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Als logarithmische Ableitung einer Funktion $f$ , die keine Nullstellen besitzt, bezeichnet man den Quotienten $\frac{f'}{f}$ . Für reelle Funktionen stimmt er nach der Kettenregel mit der Ableitung der Funktion $ln | f |$ überein; von daher der Name. Es gilt also $\int \frac{f'}{f}=\ln f$

Für holomorphe oder meromorphe Funktionen kann die logarithmische Ableitung aber auch gebildet werden, obwohl der komplexe Logarithmus nicht auf ganz $\mathbb C^\times$ definiert werden kann.

Die Bedeutung des Begriffes liegt in der einfachen Formel für die logarithmische Ableitung eines Produktes:

$\frac{(fg)'}{fg}=\frac{f'}f + \frac{g'}g,$

allgemein

$\frac{(f_1\cdots f_n)'}{f_1\cdots f_n}=\frac{f_1'}{f_1}+\ldots+\frac{f_n'}{f_n}.$

Diese Formeln folgen aus der Leibnizregel und gelten deshalb auch in allgemeinerem Kontext, beispielsweise bei der (formalen) Ableitung von Polynomen oder rationalen Funktionen über einem beliebigen Grundkörper.

siehe auch Wachstumsrate und Elastizität (Wirtschaft)

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Kategorien: Analysis | Funktionentheorie

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