Prinzip von Cavalieri
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Das Prinzip von Cavalieri (nach Bonaventura Cavalieri) ist eine Aussage aus der Geometrie. Es besagt, dass zwei Körper dasselbe Volumen besitzen, wenn ihre Schnittflächen mit Ebenen parallel zu einer Grundebene in entsprechenden Höhen gleichen Flächeninhalt haben. Diese Bedingung beinhaltet auch, dass die beiden Körper dieselbe Höhe haben.
In der modernen Herangehensweise über analytische Geometrie und Maßtheorie ist das Prinzip von Cavalieri ein Spezialfall des Satzes von Fubini. Cavalieri selbst hatte keinen strengen Beweis für das Prinzip, nutzte es jedoch als Rechtfertigung seiner Methode der Indivisibilien, die er 1635 in Geometria indivisibilibus und 1647 in Exercitationes Geometricae vorstellte. Hiermit konnte er für einige Körper die Volumen berechnen und über die Resultate von Archimedes und Kepler hinausgehen. Die Idee, das Berechnen von Volumina auf Flächen zurckzuführen stellte einen wichtigen Schritt in der Entwicklung der Integralrechnung dar.
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[Bearbeiten] Anwendungsbeispiele
[Bearbeiten] Zylinder
Die Schnitte eines Zylinders mit Ebenen senkrecht zur Rotationsachse sind Kreisscheiben mit Flächeninhalt πr2, wenn r den Radius der Grundfläche bezeichnet. Nach dem Prinzip von Cavalieri ist das Volumen des Zylinders gleich dem eines Quaders derselben Höhe h, dessen Grundfläche denselben Flächeninhalt hat, also beispielsweise die Kantenlängen r und πr hat. Das Volumen des Zylinders ist demnach 
.
[Bearbeiten] Halbkugel
Der Schnitt einer Halbkugel vom Radius r mit einer Ebene, die in der Höhe h parallel zur Grundfläche verläuft, ist nach dem Satz von Pythagoras ein Kreis mit Radius
Der Flächeninhalt der Schnittfläche ist demnach
Der Vergleichskörper ist in diesem Beispiel ein Zylinder mit derselben Grundfläche und Höhe wie die Halbkugel, aus dem ein auf der Spitze stehender Kreiskegel herausgeschnitten wurde. Die Schnittfläche in der Höhe h ist ein Kreisring mit äußerem Radius r und innerem Radius h, der Flächeninhalt ist also ebenfalls
Also haben nach dem Prinzip von Cavalieri die beiden Körper dasselbe Volumen. Das Volumen des Vergleichskörpers ist die Differenz der Volumina von Zylinder und Kegel, also
Verdoppelung liefert die bekannte Formel für das Kugelvolumen.
[Bearbeiten] Bezug zur Integralrechnung
Die Idee hinter dem Prinzip von Cavalieri findet sich vielfach in der Integralrechnung wieder. Ein Beispiel für um eins kleinere Dimensionen, also Längen der Schnitte von Geraden mit zwei Flächen, stellt die Gleichung
dar, die im wesentlichen besagt, dass die Fläche A1 zwischen den Funktionsgraphen von f und g genauso groß ist wie die Fläche A2 unter dem Funktionsgraphen der Differenz 
; diese letztere Fläche ist aber gerade dadurch charakterisiert, dass ihre senkrechten Schnitte dieselbe Länge haben wie die Schnitte von A1.
In der modernen theoretischen Herangehensweise wird der Bezug zwischen Integral und Flächeninhalt bzw. Volumen jedoch typischerweise anders hergestellt; das Prinzip von Cavalieri ist dabei weniger wichtig.
