Volumen

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Dieser Artikel erläutert den mathematisch-messtechnischen Begriff; andere Bedeutungen siehe Kapazität.

Physikalische Größe
Name		Volumen Rauminhalt
Größenart		Länge
Formelzeichen der Größe		V
Abgeleitet von		Fläche
Größen- und Einheitensystem	Einheit		Dimension
SI	Kubikmeter (m³)		L³
CGS	Kubikzentimeter (cm³)		L³
Planck	Planck-Volumen		ħ^3/2·G^3/2·c^-9/2
Angloamerikanisch	cu.in., cu.ft., cu.yd., …		L³
Siehe auch: Oberfläche, Querschnitt, Querschnittsfläche

Würfel

Das Volumen (Formelzeichen: V; v. lat.: volumen = Buch, Windung, Krümmung; aus volvere = wälzen, rollen) ist der räumliche Inhalt eines mathematischen Körpers.

In der Physik bezeichnet man mit dem Volumen die Ausdehnung (den Platzbedarf) eines Stoffes. Die SI-Einheit für das Raummaß ist der Kubikmeter (Einheitenzeichen m³). Vereinzelt liest man noch die veralteten Abkürzungen cbm für m³ und ccm für cm³. Die Schreibweise „m^3“ sollte nur noch dann benutzt werden, wenn das Anzeigesystem keine hochgestellten Exponenten anzuzeigen vermag.

Technisch muss unterschieden werden:

Hohlvolumen, der freie Raum innerhalb gewisser Grenzen, etwa das Fassungsvermögen eines Behälters
Rauminhalt, das Volumen fester Körper, von Flüssigkeiten oder Gasen

[Bearbeiten] Geschichte

Die ersten bekannten Formeln zur Volumenbestimmung (auch Stereometrie) stammen schon aus dem frühen Ägypten. Das Moskauer Papyrus ist eine Sammlung von Rechenaufgaben und ist etwa auf das Jahr 1850 v. Chr. datiert. Unter anderem sind hier die Formeln für die Bestimmung der Volumina für Rechteckkegel beschrieben. Die Bestimmung wurde durch Analyse und anschließender Synthese erreicht. Das heißt, der Körper wurde in mehrere bekannte Körper zerlegt und die Einzelvolumina addiert. Man muss also rechnen A³.

[Bearbeiten] Messmethoden

Im Laufe der Zeit haben sich ganz unterschiedliche Methoden zur Bestimmung von Volumina entwickelt:

Auslitern: Der Körper wird mit Sand oder Wasser gefüllt, dessen Menge anschließend in einem bekannten Gefäß bestimmt wird; somit lässt sich bei Gefäßen das Volumen ihres Innenraumes bestimmen.
Wasserverdrängung: Der Körper wird in ein vollständig mit Wasser gefülltes Gefäß eingetaucht. Das übertretende Wasser wird anschließend in einem bekannten Gefäß gemessen.

Weiteres siehe im Abschnitt Volumensmessung im Artikel Messgerät.

[Bearbeiten] Algebraische Berechnung

In der Theorie kann aus bekannten Ausmaßen und Form des Körpers ebenfalls das Volumen durch Rechnung nach für den entsprechenden Körper gültigen Formeln bestimmt werden:

Beispiele:

Würfel mit der Kantenlänge a:
$V = a\cdot a\cdot a = a^3$
Quader mit den Kantenlängen a, b und c:
$V = a\cdot b\cdot c$
Kugel mit dem Radius r:
$V = {{4}\over{3}} \pi \cdot r^3$
Rotationskörper der Funktion f(x) bei Rotation um die x-Achse:
$V = \pi \cdot \int_ {a}^b (f(x))^2\mathrm{d}x$
Rotationskörper um die y-Achse:
$V = \pi \cdot \int_ {a}^b x^2 \mathrm{d}y$
Körper, bei Schnitten orthogonal zur x-Achse: Hat ein Körper die stetige Querschnittsfunktion x → f(x) mit x im Intervall(a;b) dann hat er das Volumen:
$V = \int_ {a}^b f(x)\mathrm{d}x$
Zylinder mit der Grundfläche A und der Höhe h:
$V = A\cdot h$
Kegel mit der Grundfläche A und der Höhe h:
$V = A\cdot \frac{h}{3}$
beliebiges trianguliertes 3-dimensionales Objekt:
$V = {{1}\over{3}} \cdot \sum_{i=1}^{nt} {{A_i}\over{3}} \cdot ({N_i}\cdot \sum_{j=1}^{3}v_{i,j})$
wobei nt für die Anzahl der Dreiecke steht; A die Fläche, N die Normale und v die Vektoren eines Dreiecks sind

[Bearbeiten] Sonstiges

Auch außerhalb der Mathematik findet sich der Begriff Volumen, z. B. im

Haarvolumen (Fülle des Haars)
Teil (eigentlich: „Band“) eines mehrbändigen Werkes im (Buchwesen), abgeleitet vom englischen „volume“
Menge von Daten in Bezug auf Transferkapazität oder Speicherplatz (Informatik)
Umsatzmenge von Wertpapieren an der Börse
Zu den Grenzen des Volumenbegriffs der Mathematik bei Verwendung in der tatsächlichen Welt siehe Banach-Tarski-Paradoxon und Maßtheorie