Plancksches Wirkungsquantum

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Erinnerungstafel - Humboldt-Universität zu Berlin

Das plancksche Wirkungsquantum h ist eine fundamentale Naturkonstante der Quantenphysik. Es tritt bei der Beschreibung von Quantenphänomenen auf, bei denen physikalische Eigenschaften nicht jeden beliebigen kontinuierlichen Wert, sondern nur bestimmte diskrete Werte annehmen können.

Das plancksche Wirkungsquantum verknüpft Teilchen- und Welleneigenschaften, es ist das Verhältnis von Energie und Frequenz eines Lichtquants und das Verhältniss zwischen Masse, Geschwindigkeit und Wellenlänge eines beliebigen, wesentlich unterlichtschnellen, Teilchens.

Der Wert des planckschen Wirkungsquantums beträgt

$h = 6{,}6260693(11) \cdot 10^{-34}\,\rm{J\,s} = 4{,}13566743(35) \cdot 10^{-15}\,\rm{eVs}$ , ^[1]

und hat demnach die Dimension von Energie mal Zeit, also einer Wirkung oder eines Drehimpulses.

Häufig wird statt $h$ auch die Größe $\hbar$ (sprich „h-quer”) verwendet mit:

$\hbar = \frac{h}{2\pi} = 1{,}05457168(18) \cdot 10^{-34}\,\rm{J\,s} = 6{,}58211915(56) \cdot 10^{-16}\,\rm{eVs}$ , ^[1]

wobei $π$ die Kreiszahl (pi) ist. $\hbar$ wird manchmal auch nach Paul Dirac als diracsche Konstante bezeichnet.

Lichtquanten

Die Energie E elektromagnetischer Strahlung einer gegebenen Frequenz $ν$ (gr. Buchstabe "ny") kann nur in bestimmten Portionen absorbiert und emittiert werden. Die Energie eines Feldes kann sich also nur um den folgenden Betrag ändern:

$E = h \, \nu$

Max Planck führte die Konstante h (von Hilfsgröße) im Jahr 1900 zunächst nur als Hilfsmittel zur Lösung des Problems der Beschreibung des Strahlungsverhaltens schwarzer Körper (auch bezeichnet als Schwarzkörperstrahlung oder Hohlraumstrahlung) ein. Nach der klassischen Ableitung (→ Rayleigh-Jeans-Gesetz) hätte die Intensität mit steigender Frequenz immer größer werden müssen (was der Realität widerspricht und als Ultraviolettkatastrophe bezeichnet wird).

Planck hielt durch Betrachtungen zur Entropie einen damals unbekannten Zusatzterm für möglich und erhielt eine Strahlungsformel, die die schon bekannten Strahlungswerte richtig beschrieb. Er nahm deshalb an, daß die gefundene Formel richtig sei und suchte nach einer Erklärung. Dabei fiel ihm eine gewisse Ähnlichkeit der Formel mit der Formel der Geschwindigkeitsverteilung in der statistischen Gastheorie auf. Deshalb nahm er an, dass Strahlung der Frequenz $ν$ nur in Energiepaketen der Größe $E = h ν$ emittiert und absorbiert werden kann. Das Wirkungsquantum ist hier eine Proportionalitätskonstante, deren Größe sich aus der Anpassung an die experimentell ermittelten Werten der Hohlraumstrahlung ergibt.

Planck hielt den nicht-kontinuierlichen Charakter der Energie zunächst für eine Folge der Eigenschaft der Strahlungsquelle. Erst Albert Einstein postulierte 1905 die Lichtquantenhypothese, die besagt, dass die Quantisierung unabhängig von der Strahlungsquelle eine Eigenschaft des Strahlungsfeldes ist. Anlass dazu waren die experimentellen Ergebnisse zum photoelektrischen Effekt.

Häufig ersetzt man die Frequenz $ν$ durch die Kreisfrequenz $ω = 2πν$ . Dann wird $E = h ν$ zu

$E=\hbar \omega$

Materiewellen

Im Jahr 1923 schrieb Louis de Broglie auch massereichen Teilchen wie Elektronen Welleneigenschaften zu. Er verknüpfte den Impuls $\vec p$ mit der Wellenlänge $λ$ : $p = h / λ$ , beziehungsweise vektoriell $\vec p = \hbar\,\vec k$ , mit dem Wellenzahlvektor $\vec k$ vom Betrag $|\vec k|=2\pi/\lambda$ . Die Richtung von $\vec k$ entspricht der des Teilchens, dessen Materiewelle $\vec k$ beschreibt.

Quantisierung des Drehimpuls

Plancks Motivation für die Bezeichnung "Wirkungsquantum" war zunächst alleine die Dimension der Konstanten. Erst in dem 1913 von Niels Bohr aufgestellten Atommodell des Wasserstoffatoms trat das Wirkungsintegral eines um den Atomkern kreisenden Elektrons über einen geschlossenen Umlauf als quantisierte Größe in Erscheinung. Aus dieser Quantisierungsbedingung folgt, dass der Drehimpuls $\vec L$ des Elektrons nur ganzzahlige Vielfache von $\hbar$ annehmen kann. (Neben dem Produkt einer Energie mit einer Zeitdifferenz hat auch das Produkt eines Impulses mit einem Abstand die Dimension einer Wirkung, und damit auch der Drehimpuls.)

Genauere Betrachtungen des Betrages des Bahndrehimpulses $\vec{L}$ jedes Systems in jedem beliebigen Inertialsystem haben später ergeben, dass dieser entgegen dem veralteten bohrschen Atommodell nicht als ganzzahliges Vielfaches von $\hbar$ auftritt. Die Relation lautet vielmehr:

$|\vec{L}| = \sqrt{l(l+1)} \hbar$

$\hbar$ tritt also weiterhin als Proportionalitätskonstante auf.

Die Bahndrehimpulsquantenzahl $l$ kann ganzzahlige Werte von 0 bis $n - 1$ annehmen, wobei $n$ die Hauptquantenzahl ist. Für die Komponente des Drehimpulses entlang einer beliebigen Achse gilt allerdings, dass deren Betrag ein ganzzahliges Vielfaches von $\hbar$ ist. Kommt der Spin ins Spiel, können die Quantenzahlen auch halbzahlige Werte annehmen.

Quantenmechanik

In der in den 1920er Jahren entwickelten Quantenmechanik kommt dem - ursprünglich zur Lösung eines thermodynamischen Problemes eingeführten - Wirkungsquantum eine allgemeine Bedeutung zu. Es tritt z. B. im Impulsoperator und Energieoperator in der Schrödingergleichung, der fundamentalen Gleichung dieser Theorie, auf. Das plancksche Wirkungsquantum $\hbar$ ist der universelle Umrechnungsfaktor in der Quantenphysik zwischen Energien und (Kreis-)Frequenzen, nicht nur für Photonen, sowie auch zwischen Wellenzahlen und Impulsen. Es ist eine sinnvolle Sichtweise für die Quantenphysik, Energien mit (Kreis-)Frequenzen und Impulse mit Wellenzahlen zu identifizieren, indem man $\hbar$ mit 1 identifiziert. Das geschieht zum Beispiel in atomaren Einheiten oder in Planck-Einheiten, insbesondere in der Hochenergiephysik. Abstrakt-mathematischer gesagt: Der Energie-Impuls-Vektorraum wird mit dem Dualraum der Minkowski-Raum-Zeit identifiziert.

Das plancksche Wirkungsquantum tritt auch in der heisenbergschen Unschärferelation auf:

$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi} = \frac{\hbar}{2}$

Manchmal wird $\hbar$ deshalb als die fundamentalere Konstante angesehen.

In der heisenbergschen Vertauschungsrelation stellt das plancksche Wirkungsquantum die Konstante im Kommutator zwischen Impuls- und Ortsoperator dar:

$\left[ \hat{P} , \hat{Q} \right] = \frac{ \hbar}{i} \hat{\mathbf{1}}$

Quellen

↑ ^a ^b P. J. Mohr und B. N. Taylor: CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2002. In: Rev. Mod. Phys. Bd. 77, Nr. 1, 2005, S. 1-107.

Literatur

Domenico Giulini, „Es lebe die Unverfrorenheit!“ – Albert Einstein und die Begründung der Quantentheorie, online, in: Herbert Hunziker, Der jugendliche Einstein und Aarau, Birkhäuser 2005, ISBN 3764374446