Ordinalskala

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Skalenniveaus im Vergleich

Die Ordinalskala ist eine der fünf wichtigsten Skalenniveaus in der Statistik. Bei der Verwendung von ordinal(skaliert)en Merkmalen wird jede Merkmalsausprägung der Untersuchungseinheit genau einer Kategorie zugeordnet. Die Kategorien lassen sich in eine Rangfolge bringen und mit Namen oder Zahlen bezeichnen. Allerdings müssen die Abstände zwischen den einzelnen Kategorien nicht unbedingt gleich sein.

Eine zulässige Aussage ist, dass die Rangfolge der Zahlen gleich der Rangfolge der Stärke der Merkmalsausprägungen ist. D.h. jemand mit einem höheren Rang hat auch eine höhere Merkmalsausprägung als jemand mit einem niedrigeren Rang. Über die Stärke der Merkmalsausprägung oder die Größe des Merkmalsunterschiedes zwischen Objekten lässt sich aber keine Aussage machen.

Formale Bedingungen (zu den Bedingungen der Nominalskala):

Konnexivität

Es gilt entweder a größer b, oder b größer a, oder a gleich b.

Transitivität

Wenn a größer b und b größer c, dann muss a größer c gelten. Wenn Erna größer als Fritz ist und Fritz größer als Ernie ist, dann muss Erna auch größer als Ernie sein.

[Bearbeiten] Beispiele

Nachfolgende Tabelle enthält Beispiele für ordinalskalierte Merkmale.

Merkmal	Kategorien
Energieeffizenzklassen	"A" besser als "B "besser als "C" besser als "D" besser als "E" besser als "F" besser als "G"
Einkommen	hoch > mittel > niedrig
Zufriedenheit mit einem Produkt	sehr zufrieden > eher zufrieden > eher unzufrieden > sehr unzufrieden
Dienstrang beim Militär	General > Oberst > Gefreiter

Das Einkommen könnte natürlich auch ein metrisches Merkmal sein. In vielen Umfragen wird es allerdings als ordinales Merkmal erhoben, da Befragte ihr genaues Einkommen nicht gerne preisgeben und Reichtum und Armut sich zwischen Gesellschaften nicht sinnvoll in absolutem Einkommen wiedergeben lassen.

[Bearbeiten] Mögliche Operationen

Auch wenn einzelne Kategorien durch Zahlen kodiert werden, sind mathematische Operationen mit diesen Zahlen nicht sinnvoll, da sie keinen numerischen Wert sondern eine Kategorie (z. B. zufrieden) darstellen. So ist beispielsweise eine Division "zufrieden / unzufrieden" wenig sinnvoll. Qualitative Vergleiche ("größer/kleiner als") können allerdings durchgeführt werden.

Ebenfalls möglich ist das Bestimmen von Auftrittshäufigkeiten der Kategorien in einer Menge von Untersuchungsobjekten (oder das Bestimmen von Auftrittshäufigkeiten von Merkmalsausprägungen kleiner oder größer als eine Bestimmte Kategorie).

[Bearbeiten] Erlaubte Transformationen

Sämtliche Transformationen mittels streng monoton steigender Funktionen sind zulässig.

[Bearbeiten] mathematische Deutung

Aus mathematischer Sicht ist eine Ordinalskala $S$ eine Menge, für die folgendes gilt:

Es existiert eine Äquivalenzrelation $E \subseteq S \times S$ , nämlich die Identitätsrelation auf $S$ : $E = id_S = \left\{ \left(m,m\right) \vert m \in S \right\}$ .
Es existiert eine lineare Ordnungsrelation $O \subseteq S \times S$ .