Intervallskala

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Skalenniveaus im Vergleich

Die Intervallskala (z.T. auch Kardinalskala) ist eine der fünf wichtigsten Skalenniveaus in der Statistik

Als kardinales Merkmal oder auch quantitatives Merkmal oder metrisches Merkmal bezeichnet man ein Merkmal, dessen Ausprägung sich quantitativ mittels Zahlen darstellen lässt. Das heißt insbesondere auch, dass Rangunterschiede und Abstand zwischen Werten gemessen werden können, d.h. quantitative Merkmale gehen in ihren Anforderungen über ordinale oder gar nominale Eigenschaften hinaus.

[Bearbeiten] Beschreibung

Bei intervallskalierten Merkmalen lassen sich zusätzlich zu den Eigenschaften der Ordinalskala die Abstände zwischen den verschiedenen Merkmalsausprägungen exakt bestimmen. Allerdings existiert kein natürlicher Nullpunkt für die Skala. Willkürlich definierte Nullpunkte, wie z.B. bei der Celsius-Temperaturskala zählen hier nicht als natürlicher Nullpunkt, während der Nullpunkt der Kelvin-Temperaturskala, der dem absolutem Nullpunkt entspricht, ein natürlicher Nullpunkt ist.

Bei verschiedenen Intervallskalen sind die Quotienten aus Differenzen immer gleich. (a-b)/(c-d) ist also in verschiedenen Intervallskalen immer gleich.

Zulässige Aussagen bei Intervallskalen lassen sich an folgendem Beispiel illustrieren: Wir kennen die Temperaturen von Tag A, Tag B und Tag C. Jetzt bilden wir das Verhältnis der Differenzen: (A-B) / (A-C). Angenommen, das Verhältnis ist 2. Dann wäre eine zulässige Aussage: "Der Temperaturunterschied zwischen Tag A und B ist doppelt so groß wie der Temperaturunterschied zwischen Tag A und C."

Jede Intervallskala ist so geartet, dass die Rangfolge der Differenz zwischen Zahlen gleich der Rangfolge der Merkmalsunterschiede zwischen den entsprechenden Objekten ist.

[Bearbeiten] Beispiele

Beispiele für intervallskalierte Merkmale sind:

Temperatur auf der Celsius-Skala,
Jahreszahlen
Flutmarken
Zeitpunkte
Bewertungen

[Bearbeiten] Mögliche Operationen

Zusätzlich zu Größenvergleichen sind Differenzen und Summen aus intervallskalierten Merkmalen sinnvoll, da hier die Abstände zwischen den einzelnen Merkmalsausprägungen exakt definiert sind. Damit lassen sich hier auch Durchschnittswerte berechnen. Aufgrund des fehlenden Nullpunkts stellt die Multiplikation keine sinnvolle Operation für intervallskalierte Merkmale dar.

Ein kleines Beispiel möge das verdeutlichen: War es z. B. gestern 10 Grad Celsius und Heute ist es zwanzig Grad, dann kann man zwar behaupten: „Es ist zehn Grad Celsius wärmer“, aber nicht: „Es ist doppelt so warm wie gestern“. Dies wird besonders deutlich wenn man Celsius in Kelvin oder Fahrenheit transformiert.

[Bearbeiten] Erlaubte Transformationen

Zulässig sind positiv-lineare Transformationen der Art $y = α x + β$

[Bearbeiten] Mathematische Deutung

Aus mathematischer Sicht ist eine Intervallskala $S$ eine Menge, für die folgendes gilt:

Es existiert eine Äquivalenzrelation $E \subseteq S \times S$ , nämlich die Identitätsrelation auf $S$ : $E = id_S = \left\{ \left(m,m\right) \vert m \in S \right\}$ (Nominalskalen-Eigenschaft).
Es existiert eine lineare Ordnungsrelation $O \subseteq S \times S$ (Ordinalskalen-Eigenschaft).
Intervallskalen-Eigenschaft:
1. Es existiert eine Funktion $\Box -\Box :S \times S \longrightarrow D$ (Man kann Differenzen bilden).
2. Es existiert eine Funktion (Man kann die Differenzen wieder auf Ausprägungen von S addieren), für die außerdem gilt:
  1. $\forall\left(m \in S\right):\left( m+0 = m \right)$ (Das Addieren von Null bringt keine Änderung)
  2. $\forall\left(m_0 \in S\right):\forall\left(m_1 \in S\right):\left( m_0+\left(m_1-m_0\right) = m_1 \right)$ (Differenzbildung ist konsistent mit Aufaddierung)
  3. $\forall\left(d_0 \in D\right):\forall\left(d_1 \in D\right):\forall\left(m \in S\right):\left( \left(m+d_0\right)+d_1 = m+\left(d_0+d_1\right) \right)$ (eine Art einseitiges Assoziativgesetz)
3. Die Menge der Differenzen D ist den reellen Zahlen in folgender Hinsicht ähnlich:
  1. $\left( D, \Box + \Box \right)$ ist ein Untermonoid von $\left(\mathbb{R},\Box + \Box\right)$ (reelle Zahlen mit der Addition).