Levi-Civita-Symbol

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Das Levi-Civita-Symbol $\varepsilon_{ijk...}$ , auch Permutationssymbol oder (ein wenig nachlässig) Epsilon-Tensor oder Epsilon-Pseudotensor genannt, ist ein Symbol, das in der Physik bei der Vektor- und Tensorrechnung nützlich ist. Es ist benannt nach dem italienischen Mathematiker Tullio Levi-Cività (1873-1941). In der Mathematik spricht man stattdessen meist vom Vorzeichen der entsprechenden Permutation, siehe Alternierende Gruppe.

[Bearbeiten] Definition

Das Levi-Civita-Symbol in n Dimensionen hat n Indizes, die gewöhnlich von 1 bis n (für manche Anwendungen auch von 0 bis n-1) laufen. Es wird durch folgende Eigenschaften definiert:

$\varepsilon_{12\dots n} = 1$ .
Unter Vertauschung zweier Indizes ändert es das Vorzeichen: $\varepsilon_{ij\dots u\dots v\dots} = -\varepsilon_{ij\dots v\dots u\dots}$ .
$\varepsilon_{12\dots u\dots u\dots n} = 0$ , falls mindestens zwei Indizes gleich sind.

Gleichwertig ist die Definition

$\varepsilon_{ijk\dots} = \begin{cases} +1 & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine gerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist,} \\ -1 & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine ungerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist,} \\ 0 & \mbox{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.} \end{cases}$

Levi-Civita-Symbol

Zur Illustration betrachte man den dreidimensionalen Fall. Lediglich sechs der 27 Komponenten von $\varepsilon_{ijk}$ sind ungleich null:

$\varepsilon_{123} = \varepsilon_{312} = \varepsilon_{231} = 1 ,$

$\varepsilon_{321} = \varepsilon_{213} = \varepsilon_{132} = -1 .$

Zahlenbeispiel anhand der Einheitsvektoren im R³:

$\varepsilon_{123} = e_{1}\cdot(e_{2}\times e_{3}) = (1,0,0)^{T}\cdot [(0,1,0)^T\times (0,0,1)^T] = (1,0,0)^T\cdot (1,0,0)^T = 1$

In obigem Beispiel erkennt man ferner eine Invarianz unter zyklischer Permutation der Indizes. Dies gilt allgemein nur dann, wenn n ungerade ist. Im anderen Fall geht eine zyklische Permutation mit einem Vorzeichenwechsel einher.

Das Symbol bezeichnet die Komponenten eines kovarianten Tensors n-ter Stufe.

[Bearbeiten] Anwendungen

Das Levi-Civita-Symbol mit drei Indizes erweist sich in der Vektorrechnung als nützlich, um die Komponenten des Kreuzproduktes zweier Vektoren zu schreiben. Es gilt

$(\vec{a} \times \vec{b})_i = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k \;.$

Bei solchen Rechnungen wird häufig die Einsteinsche Summenkonvention angewandt, das heißt, man lässt die Summenzeichen weg und vereinbart, dass über in Produkten doppelt auftretende Indizes stets automatisch summiert wird:

$(\vec{a} \times \vec{b})_i = \varepsilon_{ijk} a_j b_k \;.$

Zwischen dem Epsilon-Tensor und dem Kronecker-Delta gilt die Beziehung

$\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{lmn} = \begin{vmatrix} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn} \\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn} \end{vmatrix} = \delta_{il} \delta_{jm} \delta_{kn} + \delta_{im} \delta_{jn} \delta_{kl} + \delta_{in} \delta_{jl} \delta_{km} - \delta_{im} \delta_{jl} \delta_{kn} - \delta_{il} \delta_{jn} \delta_{km} - \delta_{in} \delta_{jm} \delta_{kl}$

aus dieser folgt

$\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{imn} = \delta_{jm} \delta_{kn} - \delta_{jn} \delta_{km}$

$\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}$

$\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ijk} = 6$

(wiederum mit Summenkonvention). Sie ist nützlich bei der Vektorrechnung im R³.

Die Determinante einer $n \times n$ -Matrix $A = \left(A_{ij}\right)$ kann mit dem Levi-Civita-Symbol und der Summenkonvention wie folgt geschrieben werden: