Kubische Gleichung
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Definition
Kubische Gleichungen sind algebraische Gleichungen 3. Grades, also Gleichungen der allgemeinen Form
mit 
und 
in der Unbekannten 
(siehe auch Polynomfunktion: Pn = 3(x))
Allgemein gilt:
- Im Fall a = 0 handelt es sich höchstens noch um eine quadratische Gleichung und der Lösungsweg ist entsprechend zu ändern.
- Die kubische Gleichung lässt sich mit Kenntnis aller drei komplexen Nullstellen x1,x2,x3 auch so faktorisieren:
- Geometrisch beschreibt die reelle Variante der kubischen Gleichung eine kubische Parabel in der x-y-Ebene. Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind die reellen Nullstellen. Da die Parabel immer von
bzw. von 
läuft und die Funktion stetig ist, muss es (nach dem Zwischenwertsatz) stets mindestens einen Schnittpunkt mit der x-Achse geben, d.h. mindestens eine reelle Nullstelle. Dies spiegelt sich auch in der algebraischen Behandlung wieder.
[Bearbeiten] Lösungsansätze
Der einfachste und historisch älteste Lösungsweg beruht auf dem Ansatz
![t=\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B};](../../../math/7/c/0/7c069a0719bb39330f3f9ef239bd9249.png)
setzt man in der Gleichung
![t^3+pt+q=\Big[A+B+q\Big]+\big(\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}\big)\Big[3\sqrt[3]{A}\sqrt[3]{B}+p\Big]=0](../../../math/c/f/a/cfadfd01b0e3b3415dad2c71056caa87.png)
die beiden Ausdrücke in eckigen Klammern separat gleich null, erhält man eine quadratische Gleichung für A und B. Führt man die entsprechende Rechnung durch, ergeben sich die Cardanischen Formeln.
[Bearbeiten] Weblinks
[Bearbeiten] Siehe auch
- Lineare Gleichung
- Quadratische Gleichung
- Biquadratische Gleichung (auch Quartische Gleichung genannt)
- Polynom
- Gerolamo Cardano
