Hessesche Normalform

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Darstellung von Normale und Abstand der Hesseschen Normalform

Die hessesche Normalform (nach Ludwig Otto Hesse) ist in der analytischen Geometrie eine Gleichung, die eine Ebene im Euklidischen Raum R³ oder eine Gerade im R² beschreibt:

Wenn $\vec r$ in einem gegebenen Koordinatensystem der Ortsvektor eines Punktes P der Ebene E ist (kurz: $P \in E$ ), dann gilt

$\vec r \cdot \vec n_0 = d.$

Dabei ist

$\vec n_0$ der normierte Normalenvektor von E, welcher vom Koordinatenursprung zur Ebene zeigt, und
d ≥ 0 der Abstand der Ebene vom Ursprung des Koordinatensystems.

Inhaltsverzeichnis

1 Herleitung / Berechnung aus der Normalgleichung
2 Berechnung aus drei Ortsvektoren über ein Gleichungssystem
- 2.1 Beispiel
3 Berechnung über das Kreuzprodukt
4 Verallgemeinerung

[Bearbeiten] Herleitung / Berechnung aus der Normalgleichung

In der Normalgleichung

$(\vec r -\vec a)\cdot \vec n = 0$ ,

ist die Ebene durch einen Normalenvektor $\vec n$ sowie einen beliebigen Ortsvektor $\vec a$ eines Punktes $A \in E$ gegeben. Das Vorzeichen von $\vec n$ sei so gewählt, dass

$\vec a\cdot \vec n > 0$ ist.

Indem man $\vec n$ durch seinen Betrag $| \vec n |$ dividiert, erhält man den normierten Normalenvektor

$\vec n_0 = {{\vec n} \over {| \vec n |}}$

und es gilt

$(\vec r -\vec a)\cdot \vec n_0 = 0$ .

Indem man

$d = \vec a\cdot \vec n_0 > 0$

berechnet, erhält man die Hessesche Normalform

$\vec r \cdot \vec n_0 - d = 0$ .

d ist hierin der Abstand vom Ursprung, denn da $\vec r \cdot \vec n_0 = d$ für jeden Punkt der Ebene gilt, gilt es insbesondere auch für den Punkt Q (Fußpunkt des Lotes vom Ursprung auf die Ebene E) mit $\vec r = \vec r_s$ . Dann ist nach Definition des Skalarproduktes

Der Betrag $|\vec r_s|$ von $\vec r_s$ ist aber der Abstand der Ebene vom Ursprung.

[Bearbeiten] Berechnung aus drei Ortsvektoren über ein Gleichungssystem

Hat man 3 Ortsvektoren x₁, x₂ und x₃ von Punkten der Ebene gegeben (die nicht auf einer Geraden liegen) und will daraus die Hessesche Normalform berechnen, wertet man die folgenden Gleichungen aus:

$(\vec x_1 - \vec x_2) \cdot \vec n = 0$

$(\vec x_2 - \vec x_3) \cdot \vec n = 0$

$(\vec x_3 - \vec x_1) \cdot \vec n = 0$

Die dritte Gleichung ist redundant. Das Gleichungssystem ist daher erst lösbar, indem man als zusätzliche Bedingung die Normiertheit

$|\vec n| = 1$ ,

also

$\sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2} = 1\ \to \ n_1^2 + n_2^2 + n_3^2 = 1$

verlangt. Einfacher ist es, den übrig behaltenen Freiheitsgrad, nämlich den Betrag ( $l 2$ -Norm) $|\vec n|$ des Vektors $\vec n$ , zunächst beliebig zu wählen und dann zu normieren, indem man $\vec n$ durch $|\vec n|$ dividiert.

[Bearbeiten] Beispiel

$\vec x_1 = \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $\vec x_2 = \begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ , $\vec x_3 = \begin{pmatrix}-3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Zu lösen ist:

n 1 + n 2 - n 3 = 0

n 1 - 2 n 2 + n 3 = 0

- 2 n 1 + n 2 = 0

$\sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2} = 1$

Lösung:

$\vec n = \frac{\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}}{\sqrt{14}}$

$d = \vec x_1 \cdot \vec n = \frac{4}{\sqrt{14}}$

Hessesche Normalform:

$\frac {\vec x \cdot \left(\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - 4\right)}{\sqrt{14}} = 0$

[Bearbeiten] Berechnung über das Kreuzprodukt

Ein anderer Weg zur Berechnung des Normalenvektors führt über das Kreuzprodukt. Man erhält in diesem Falle ein eindeutiges Ergebnis

$\vec n = (\vec x_1 - \vec x_2) \times (\vec x_2 - \vec x_3)$ ,

wobei man aber auch hier i. A. $\vec n$ noch normieren muss:

$\vec n_0 = {{\vec n} \over {| \vec n |}}$

Aus

$d = \vec x_1 \cdot \vec n_0$

Da gilt:

$d = |x1| \cdot \cos \phi$
Definition des skalaren Produktes: $\vec x_1 \cdot \vec n = |\vec x_1| \cdot |\vec n| \cdot \cos \phi$
Und da n auf die Länge 1 normiert ist, kann man schreiben: $\vec x_1 \cdot \vec n = |\vec x_1| \cdot 1 \cdot \cos \phi = |\vec x_1| \cdot \cos \phi = d$

ergibt sich schließlich wieder der Abstand der Ebene zum Nullpunkt. Diese Abstandsberechnung ist ein wichtiges Anwendungsgebiet der Hesseschen Normalform. Allgemein erhält man den Abstand s eines beliebigen Punktes P von der Ebene E, wenn man den Ortsvektor $\vec p$ von P für $\vec r$ in die Hessesche Normalform einsetzt:

$s = \vec p\cdot \vec n_0 - d$

Ist $s < 0$ , so liegt P in demselben Halbraum von E wie der Ursprung, bei positivem Vorzeichen von s im anderen Halbraum.

[Bearbeiten] Verallgemeinerung

Die Hessesche Normalform (nicht aber die Berechnung über das Kreuzprodukt) kann man ganz allgemein zur Beschreibung (n-1)-dimensionaler Hyperebenen im n-dimensionalen Raum verwenden.

Siehe auch: Jordansche Normalform, Geradengleichung

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Kategorie: Analytische Geometrie