Gaußsche Krümmung

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In der Theorie der Flächen im dreidimensionalen Raum (), einem Gebiet der Differentialgeometrie, ist die gaußsche Krümmung, benannt nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß, der wichtigste Krümmungsbegriff.

[Bearbeiten] Definition

Gegeben seien eine reguläre Fläche im und ein Punkt dieser Fläche. Die gaußsche Krümmung K der Fläche in diesem Punkt ist das Produkt der beiden Hauptkrümmungen k₁ und k₂.

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Da k₁ und k₂ verschiedene Vorzeichen haben können, sind auch negative Werte für K möglich, nämlich bei sattelartig gekrümmten Flächen.

[Bearbeiten] Beispiele

• Im Falle einer Kugel(oberfläche) mit Radius r ist die gaußsche Krümmung gegeben durch K = 1 / r².

• In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiszylinders ist die gaußsche Krümmung gleich 0.

[Bearbeiten] Eigenschaften

• Sind E, F, G bzw. L, M, N die Koeffizienten der ersten bzw. zweiten Fundamentalform, so gilt folgende Formel:

• Die gaußsche Krümmung hängt nur von der inneren Geometrie der gegebenen Fläche ab (siehe Theorema egregium von C. F. Gauß).

• Es gilt die Formel von Brioschi:

Dabei sind E, F und G die Koeffizienten der ersten Fundamentalform. Die Bezeichnungen E_u, F_uv usw. stehen für erste und zweite partielle Ableitungen nach den Parametern u und v, mit denen die gegebene Fläche parametrisiert wird.