Zweite Fundamentalform
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Die zweite Fundamentalform ist ein Rechenausdruck aus der Theorie der Flächen im dreidimensionalen Raum (
), einem Teilgebiet der klassischen Differentialgeometrie.
Während die erste Fundamentalform die innere Geometrie einer Fläche beschreibt (also Eigenschaften, die sich durch Längenmessungen innerhalb der Fläche ermitteln lassen), hängt die zweite Fundamentalform von der Lage der Fläche im umgebenden Raum ab. Sie wird für Krümmungsberechnungen benötigt und kommt beispielsweise in den Mainardi-Codazzi-Gleichungen vor.
[Bearbeiten] Definition
Eine Fläche sei durch 
gegeben, also durch u und v parametrisiert. Für den durch die Parameterwerte u und v bestimmten Punkt der Fläche sind die Koeffizienten der zweiten Fundamentalform folgendermaßen definiert:
Dabei sind 
, 
und 
zweite partielle Ableitungen nach den Parametern. Die Malpunkte drücken Skalarprodukte von Vektoren aus. Der Vektor 
ist senkrecht zu den Tangentialvektoren und heißt daher Flächennormalenvektor. Er ist definiert durch
.
Zur Vereinfachung der Schreibweise lässt man häufig die Argumente weg und schreibt nur L, M und N. Mache Autoren verwenden die Bezeichnungen e, f und g.
[Bearbeiten] Eigenschaften
Die Diskriminante LN − M2 der zweiten Fundamentalform liefert Auskunft darüber, wie die gegebene Fläche an der betrachteten Stelle gekrümmt ist. Drei Fälle sind zu unterscheiden:
- Für LN − M2 > 0 liegt elliptische Krümmung vor. (Beispiel: Oberfläche eines Ellipsoids oder einer Kugel)
- LN − M2 = 0 bedeutet parabolische Krümmung. (Beispiel: Oberfläche eines geraden Kreiszylinders)
- Falls LN − M2 < 0 gilt, spricht man von hyperbolischer Krümmung. (Beispiele: Einschaliges Hyperboloid, Hyperbolisches Paraboloid)
