Erste Fundamentalform

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Die erste Fundamentalform oder metrische Grundform ist ein Rechenausdruck aus der Theorie der Flächen im dreidimensionalen Raum $(\mathbb{R}^3)$ , einem Teilgebiet der klassischen Differentialgeometrie. Die erste Fundamentalform ermöglicht unter anderem die Lösung folgender Probleme:

Berechnung der Länge einer Kurve auf der gegebenen Fläche
Berechnung des Winkels, unter dem sich zwei Kurven auf der gegebenen Fläche schneiden
Berechnung des Flächeninhalts eines Flächenstücks der gegebenen Fläche

Ferner lassen sich aus den Koeffizienten der ersten Fundamentalform und ihren partiellen Ableitungen die gaußsche Krümmung (Formel von Brioschi) und die Christoffelsymbole zweiter Art bestimmen (Formeln von Gauß).

Diejenigen Eigenschaften einer Fläche, die sich mit Hilfe der ersten Fundamentalform untersuchen lassen, fasst man unter der Bezeichnung innere Geometrie zusammen.

[Bearbeiten] Definition und Eigenschaften

Eine Fläche sei durch $\mathbf{a} (u,v)$ gegeben, also durch $u$ und $v$ parametrisiert. Für den durch die Parameterwerte $u$ und $v$ bestimmten Punkt der Fläche sind die Koeffizienten der ersten Fundamentalform folgendermaßen definiert:

$E(u,v) = \mathbf{a}_u (u,v) \cdot \mathbf{a}_u (u,v) = (\mathbf{a}_u (u,v))^2$

$F(u,v) = \mathbf{a}_u (u,v) \cdot \mathbf{a}_v (u,v)$

$G(u,v) = \mathbf{a}_v (u,v) \cdot \mathbf{a}_v (u,v) = (\mathbf{a}_v (u,v))^2$

Dabei sind $\mathbf{a}_u (u,v)$ und $\mathbf{a}_v (u,v)$ die beiden ersten partiellen Ableitungen nach den Parametern. Die Malpunkte drücken Skalarprodukte von Vektoren aus.

Zur Vereinfachung lässt man häufig die Argumente weg und schreibt nur $E$ , $F$ und $G$ für die Koeffizienten. Eine weitere (modernere) Schreibweise ist:

$g_{11} = E; \quad g_{12} = g_{21} = F; \quad g_{22} = G$

Die Zahlen $g i j$ sind die Koeffizienten des kovarianten metrischen Tensors.

Für die Koeffizienten der ersten Fundamentalform gilt:

$E > 0; \quad G > 0; \quad EG-F^2 > 0$

[Bearbeiten] Länge einer Flächenkurve

Eine Kurve auf der gegebenen Fläche lässt sich ausdrücken durch zwei reelle Funktionen $\varphi_1$ und $\varphi_2$ : Jedem möglichen Wert des Parameters $t$ wird der auf der Fläche gelegene Punkt $\mathbf{a}(\varphi_1(t),\varphi_2(t))$ zugeordnet. Sind alle beteiligten Funktionen stetig differenzierbar, so gilt für die Länge des durch $t \in [a,b]$ festgelegten Kurvenstücks:

$l = \int\limits_a^b \sqrt{E \cdot (\dot\varphi_1(t))^2 + 2 F \cdot \dot\varphi_1(t) \dot\varphi_2(t) + G \cdot (\dot\varphi_2(t))^2} \, dt$

Den Radikanden in dieser Formel bezeichnet man als erste Fundamentalform.

Gelegentlich wird auch die Schreibweise mit Differentialen verwendet:

$ds^2 = E \, du^2 + 2 F \, du \, dv + G \, dv^2$

[Bearbeiten] Inhalt eines Flächenstücks

Der Inhalt eines durch einen Parameterbereich $B$ gegebenen Flächenstücks lässt sich berechnen durch

$A = \int\limits_B \sqrt{EG-F^2} \, d(u,v)$ .

[Bearbeiten] Beispiel

Die Oberfläche einer Kugel mit Radius $r$ lässt sich parametrisieren durch

$\mathbf{a}(u,v) = \begin{pmatrix}r \sin u \cos v\\r \sin u \sin v\\r \cos u\end{pmatrix}$ .

Für die Koeffizienten der ersten Fundamentalform ergibt sich:

$E = \mathbf{a}_u (u,v) \cdot \mathbf{a}_u (u,v) = \begin{pmatrix}r \cos u \cos v\\r \cos u \sin v\\-r \sin u\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}r \cos u \cos v\\r \cos u \sin v\\-r \sin u\end{pmatrix} = r^2$

$F = \mathbf{a}_u (u,v) \cdot \mathbf{a}_v (u,v) = \begin{pmatrix}r \cos u \cos v\\r \cos u \sin v\\-r \sin u\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-r \sin u \sin v\\r \sin u \cos v\\0\end{pmatrix} = 0$

$G = \mathbf{a}_v (u,v) \cdot \mathbf{a}_v (u,v) = \begin{pmatrix}-r \sin u \sin v\\r \sin u \cos v\\0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-r \sin u \sin v\\r \sin u \cos v\\0\end{pmatrix} = r^2 \sin^2 u$