Arithmetische Folge
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Eine arithmetische Folge oder arithmetische Progression ist eine regelmäßige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist. Also
- ai + 1 = ai + d (rekursive Formel)
Das i-te Glied ai einer arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied a0 und der Differenz d berechnet sich aus
- (explizite Formel)
beziehungsweise aus
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Arithmetische Folge und arithmetisches Mittel
Die arithmetische Folge leitet sich aus dem arithmetischen Mittel ab, da jedes Glied einer arithmetischen Folge mit das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder ist:
Die Summation der Folgenglieder ergibt die arithmetische Reihe.
[Bearbeiten] Beispiele für arithmetische Folgen
[Bearbeiten] A. Die Folge der ungeraden, natürlichen Zahlen
[Bearbeiten] B. Die Glieder der arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied a0 = 25 und der Differenz d=-3 sind
wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt ergibt sich
[Bearbeiten] Differenzfolge
Die Folge aus den Differenzen zweier aufeinanderfolgender Glieder nennt man Differenzfolge. Bei einer Arithmetischen Folge muss die Differenzfolge konstant sein:
[Bearbeiten] Beispiel
Die Differenz zweier aufeinanderfolgender, ungerader, natürlicher Zahlen ist immer 2. Also ergibt sich als Differenzfolge eine Zweierfolge:
[Bearbeiten] Arithmetische Folgen höherer Ordnung
Folgen, die sich auf eine arithmetische Folge zurückführen lassen, nennt man arithmetische Folgen höherer Ordnung. Es handelt sich dabei genau um diejenigen Folgen, die sich durch eine Polynomfunktion beschreiben lassen; die Ordnung ist dabei der Grad des Polynoms.
[Bearbeiten] Beispiele
[Bearbeiten] A. Die Folge der Tetraederzahlen
Folge: | ||||||||||||||
1.Differenzfolge: | ||||||||||||||
2.Differenzfolge: | ||||||||||||||
3. Differenzfolge: |
Die Folge der Tetraederzahlen ist eine arithmetische Folge 3. Ordnung. Die Polynomfunktion, welche die Folge beschreibt, lautet:
- .
Der größte Exponent bestimmt den Grad der Polynomfunktion, und das ist in diesem Fall die drei.
Wie man der Tabelle entnehmen kann ist die Folge der Dreieckszahlen (1. Differenzfolge) eine arithmetische Folge 2. Ordnung.
[Bearbeiten] B. Die Folge der (positiven) Quadratzahlen
Folge: | ||||||||||||||
1.Differenzfolge: | ||||||||||||||
2.Differenzfolge: |
Bei der Folge der Quadratzahlen handelt es sich um eine arithmetische Folge 2. Ordnung
[Bearbeiten] Berechnung
Zur Berechnung arithmetischer Folgen allgemeiner Ordnung, sind die Formeln
zu verwenden. Dabei ist Bk die k-te Bernoulli-Zahl.
Siehe auch: Geometrische Folge