Übertragungsfunktion

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Dieser Artikel behandelt die Funktion eines linearen, zeitinvarianten Systems. Für die Funktion des Modells neuronaler Netze siehe Künstliches Neuron.

Die Übertragungsfunktion ist eine mathematische Beschreibung des Verhaltens eines linearen, zeitinvarianten Systems, das genau einen Eingang und einen Ausgang besitzt. Sie spielt eine wichtige Rolle in der technischen Systemtheorie und wird bei der Analyse von Problemen der Regelungstechnik, der Kommunikationstechnik und der Signalverarbeitung eingesetzt.

Ein lineares zeitinvariantes System, das genau einen Eingang und einen Ausgang besitzt, reagiert auf ein Eingangssignal mit einem Ausgangssignal. Dabei kann der zeitliche Verlauf des Ausgangssignals eindeutig bestimmt werden, wenn der Zustand des Systems zu einem beliebigen Zeitpunkt bekannt ist.

Unterwirft man die reellen Funktionen der Zeit, die das Eingangs- und das Ausgangssignal beschreiben, der Fourier-Transformation oder der Laplace-Transformation, erhält man eine mathematische Beschreibung der beiden Signale im Frequenzbereich in Form von komplexwertigen Funktionen.

Die Übertragungsfunktion des Systems ist der Quotient, den man erhält, wenn die Frequenzbereichsfunktion des Ausgangssignals durch die Frequenzbereichsfunktion des Eingangssignals geteilt wird.

Die Übertragungsfunktion ist für ein System immer dieselbe - unabhängig von der Wahl eines speziellen Ein/Ausgangssignalpaares. Deshalb beschreibt sie das gesamte mögliche Verhalten des Systems.
Genau gilt dieses zwar nur, wenn das System zum Zeitpunkt t = 0 im sogenannten Ruhezustand ist, was aber in der Systemtheorie keine Einschränkung der Allgemeinheit bedeutet.

In der Regelungstechnik wird für die Gewinnung der Frequenzbereichsdarstellung von Signalen vorwiegend die Laplacetransformation verwendet, in der Nachrichtentechnik bedient man sich hauptsächlich der Fouriertransformation. Deshalb ist die Übertragungsfunktion in diesen beiden Bereichen unterschiedlich definiert. Der Quotient von fouriertransformierten Signalen - also die Übertragungsfunktion in der Nachrichentechnik - ist identisch mit dem komplexen Frequenzgang des Systems.

In gleicher Weise können Übertragungsfunktionen (z-Übertragungsfunktionen) auch für lineare, zeitinvariante Abtastsysteme definiert werden. Statt der Laplacetransformation muss dann die z-Transformation verwendet werden. Diese erlaubt es, auch für Wertefolgen, wie sie bei Abtastsystemen am Ein- und Ausgang auftreten, Frequenzbereichsfunktionen zu bestimmen.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Impulsantwortfunktion als Alternative im Zeitbereich
3 Verallgemeinerte Definition in der Systemtheorie
4 Übertragungsfunktion eines Systems in der Zustandsraumdarstellung
5 Pol-Nullstellendarstellung
6 Anwendungen
- 6.1 Einsatz für Filter
- 6.2 Systemidentifikation
7 Siehe auch

[Bearbeiten] Definition

Eingangssignal ${x(t)\,}$ und Ausgangssignal ${y(t)\,}$ werden als Überlagerung von je einer Sinus- und Cosinusschwingung für jede von endlich oder unendlich vielen Frequenzen angenommen.

Die Übertragungsfunktion ist dann diejenige komplexwertige Funktion

$H(\omega) = |H(\omega)| e^{\mathrm{i} \varphi(\omega)}$ ,

die, in Abhängigkeit von der Frequenz (oder zweckmäßiger: Kreisfrequenz) $\omega \,$ , beschreibt, um welchen Faktor $| H |$ das System die Amplitude verändert und um welchen Phasenwinkel $\varphi$ es die Phase verschiebt.
Für ein reelles System, das reelle Signale in reelle Signale überführt, ist die Phase der Übertragungsfunktion eine antisymmetrische Funktion der Kreisfrequenz: $\varphi(-\omega)=\,-\varphi(\omega)$ .

Wenn Eingangssignal $x (t)$ und Ausgangssignal $y (t)$ im Frequenzbereich vorliegen, d. h. in Form ihrer komplexen Fourierspektren oder Fourierkoeffizienten

$x(t) = \int\limits_{\omega=-\infty}^{\infty} X(\omega)\,e^{\mathrm{i}\omega t}\,d\omega \approx \sum_{(j)} X_j \, e^{\mathrm{i} \omega_j t}$

$y(t) = \int\limits_{\omega=-\infty}^{\infty} Y(\omega)\,e^{\mathrm{i}\omega t}\,d\omega \approx \sum_{(j)} Y_j \, e^{\mathrm{i} \omega_j t}$

dann definiert man als Übertragungsfunktion den Quotienten, also das Verhältnis von Ausgangs-Fourierspektrum zu Eingangs-Fourierspektrum:

$H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} \quad\mbox{bzw.}\quad H_j=H(\omega_j) = \frac{Y_j}{X_j}$

In manchen Literaturquellen ist die Übertragungsfunktion allerdings konjugiert komplex hierzu definiert, d. h. es besteht keine Einigkeit darüber, ob ein positiver Phasenwinkel "voreilend" oder "nacheilend" bedeutet.

[Bearbeiten] Impulsantwortfunktion als Alternative im Zeitbereich

Während es sich hier um eine Betrachtung im Frequenzbereich handelt, ist mit gewissen Einschränkungen etwas ähnliches auch im Zeitbereich möglich, und zwar genau dann, wenn das Eingangssignal die Ursache und das Ausgangssignal die Wirkung ist. Die entsprechende Funktion im Zeitbereich nennt man Impulsantwortfunktion, diese ist (abgesehen von einem Faktor) die inverse Fouriertransformierte der Übertragungsfunktion. Ob Übertragungsfunktion oder Impulsantwortfunktion genommen wird, richtet sich nach den Anforderungen. Die Impulsantwortfunktion wird anstelle der Übertragungsfunktion verwendet, wenn in Echtzeit transformiert wird und insofern der zukünftige Verlauf des Eingangssignals noch unbekannt ist.

[Bearbeiten] Verallgemeinerte Definition in der Systemtheorie

Nach der obengenannten Definition ist die Übertragungsfunktion (abgesehen von einem konstanten Faktor) die Fouriertransformierte der Impulsantwortfunktion. In diesem Sinne wird sie in den Ingenieurwissenschaften verwendet und in der Praxis eingesetzt.

Demgegenüber kennt man in der Systemtheorie als noch allgemeinere Definition die Übertragungsfunktion als Laplace-Transformierte statt nur Fouriertransformierte der Impulsantwortfunktion.

[Bearbeiten] Übertragungsfunktion eines Systems in der Zustandsraumdarstellung

Wird ein System in der Zustandsraumdarstellung beschrieben, so erhält man die Übertragungsfunktion durch:

$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = C{(sI - A)}^{-1} B + D= C{\frac{Adj(sI-A)}{Det(sI-A)}} B + D$

[Bearbeiten] Pol-Nullstellendarstellung

Die Übertragungsfunktion $H (s)$ hat die allgemeine Form:

$H(s) = \frac{{b_m s^m + b_{m - 1} s^{m - 1} + \ldots + b_1 s + b_0 }}{{a_n s^n + a_{n - 1} s^{n - 1} + \ldots + a_1 s + a_0 }} = K\frac{{(s - z_1 )(s - z_2 ) \ldots (s - z_m )}}{{(s - p_1 )(s - p_2 ) \ldots (s - p_n )}}$

Die $z i$ werden als Nullstellen und die $p i$ als Pole der Übertragungsfunktion bezeichnet. Durch eine Angabe des Verstärkungsfaktors $K$ , $z i$ und $p i$ ist die Übertragungsfunktion vollständig bestimmt. Die Impulsantwort erhält man durch die Rücktransformation von $H (s)$ , was am besten durch Partialbruchzerlegung geschieht.

[Bearbeiten] Anwendungen

[Bearbeiten] Einsatz für Filter

Zur Auslegung von Filtern mit passiven oder aktiven Komponenten wird die Übertragungsfunktion als einfache Potenzfunktion angesetzt:

$H(\Omega) = \frac{A_0}{\prod_i (1 + a_i \mathbf{\Omega} + b_i \mathbf{\Omega^2})}$

wobei $Ω$ die normalisierte Frequenz ist mit

$\mathbf{\Omega} = \frac{\omega}{\omega_g}$ und

ω g

die Grenzfrequenz darstellt.

Die höchste Potenz von $Ω$ bezeichnet dabei die Ordnung des eingesetzten Filters. Die Steilheit des Verstärkungsabfalles steigt mit der Ordnung des Filters.

Ungerade Ordnungen erhält man, indem der Koeffizient $b 1 = 0$ gesetzt wird.

[Bearbeiten] Systemidentifikation

Eine typische Anwendung der Übertragungsfunktion besteht darin, dass man sie im Rahmen von Modellversuchen misst und danach die Möglichkeit hat, das System numerisch zu simulieren.

Eine wichtige Rolle spielt die Übertragungsfunktion in der Nachrichtentechnik, der Regelungstechnik sowie in Schiffbau und Offshoretechnik. Da sie für die Analyse und numerische Simulation nicht nur elektrischer, sondern auch mechanischer Schwingungen eingesetzt wird und ihre Implementation als Software keine Spezial-Hardware voraussetzt, stellt sie kein Teilgebiet der Elektronik oder Elektrotechnik dar.

In den beiden letztgenannten Anwendungen hängen die sechs Übertragungsfunktionen für die sechs Freiheitsgrade (surge, sway, heave, roll, pitch, yaw) zusätzlich von der Ausbreitungsrichtung des Seegangs sowie von der Geschwindigkeit des Schiffes ab. Der Betrag der Übertragungsfunktion als Funktion der Seegangskreisfrequenz weist in den Eigenfrequenzen Maxima auf. Bei einem unverankerten Schiff ist die erste Eigenfrequenz der Freiheitsgrade surge, sway, heave null, mangels Rückstellkräften. Bei einer in allen Richtungen verankerten Offshore-Plattform ist die erste Eigenfrequenz dieser drei horizontalen Freiheitsgrade ungleich null und im allgemeinen so niedrig, dass sie weniger von den Seegangskräften erster Ordnung angeregt wird, sondern von den Seegangsdriftkräften, d. h. von den Schwankungen der Wellenamplituden im irregulären Seegang.

[Bearbeiten] Siehe auch

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