Frequenzgang
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Der Frequenzgang beschreibt das Verhalten eines linearen zeitinvarianten Systems (etwa einer Lautsprecherbox oder eines Filters in der Analogtechnik).
Dabei wird die Ausgangsgröße mit der Eingangsgröße verglichen und abhängig von der Frequenz aufgezeichnet. Es wird dadurch quasi (im Falle der Audiotechnik) der Eigenklang des betrachteten Systems beschrieben. Das Verhältnis wird dabei meistens durch Amplitude (Betrag) und Phase dargestellt. Beide Größen als Graph dargestellt bezeichnet man auch als Amplitudengang (Betragsfrequenzgang) bzw. Phasengang (Phasenfrequenzgang), in Kombination auch Bode-Diagramm genannt. Werden beide Informationen zu einer komplexen Funktion zusammengefasst, spricht man auch vom komplexen Frequenzgang.
Häufig interessiert auch nur der Amplitudengang und wird dann schon allein als Frequenzgang bezeichnet.
[Bearbeiten] Mathematische Herleitung
Der Frequenzgang (in der Schwingungstechnik häufig als Übertragungsfunktion bezeichnet) ist wohl die am häufigsten verwendete Funktion in der Signalanalyse. Er dient zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens von Systemen, wobei in der Regel – bei Mehrfreiheitsgradsystemen – eine Frequenzgangmatrix notwendig ist, deren Elemente durch sämtliche mögliche Einzel-Frequenzgänge zwischen jeweils zwei Messpunkten bzw. Messrichtungen gebildet werden. In der Regel wird zur Systemidentifikation (Modalanalyse) als Eingangsgröße x(t) eine Kraft gewählt; als Ausgangsgrößen werden meistens die aus der Krafterregung resultierenden Auslenkungen, Schwingschnellen oder Beschleunigungen herangezogen. Ist das dynamische Verhalten einer Struktur bekannt, so kann z. B. die Schwingungsantwort an jeder Messstelle aufgrund einer beliebig vorgegebenen Anregung an einer anderen Messstelle mit Hilfe des zugehörigen Frequenzganges bestimmt werden.
Die anschaulichste Beziehung zur Berechnung von Frequenzgängen lautet:
, (1)
wobei X(f) und Y(f) die Fouriertransformierten des Eingangs- und des Ausgangssignals x(t) bzw. y(t) repräsentieren (siehe Signalanalyse). Sie liefert jedoch nur unter idealen Bedingungen (siehe unten) den exakten Frequenzgang H(f). In der Praxis sind Eingangs- und/oder Ausgangssignal mehr oder weniger verrauscht, so dass in der Signalanalysetechnik meistens zwei andere Berechnungsverfahren eingesetzt werden, bei denen die Tatsache ausgenutzt wird, dass sich bei der Berechnung von Kreuzleistungsspektren nicht korrelierte Signalanteile herausmitteln. Die Beziehung
, (2)
in der SXY das Kreuzleistungsspektrum und SXX das Autoleistungsspektrum des Eingangssignals repräsentieren, resultiert aus der Erweiterung des Quotienten in Gl. (1) mit der konjugiert Komplexen X · (f) der Fouriertransformierten des Eingangssignals. Sie ist besonders geeignet, wenn die Eingangsgröße störungsfrei ermittelt werden kann. Durch Erweiterung mit der entsprechenden konjugiert Komplexen Y*(f) des Ausgangsspektrums erhält man
(3),
mit SYX(f) = S*XY(f). Diese Berechnungsmethode ist immer dann angezeigt, wenn das Ausgangssignal y(t) störungsfrei vorliegt. Sind die beiden Signale x(t) und y(t) vollständig kohärent, so gilt:
- H0(f) = H1(f) = H2(f). (4)
Aus dem Quotienten H1(f)/H2(f) kann, wie aus Gl. (2) und (3) abzuleiten ist, die Kohärenz γ2YX(f) errechnet werden:
. (5)
Die Fourier-Rücktransformierte des Frequenzganges ist die Gewichtsfunktion h(t), oft auch als Impulsantwort(funktion) bezeichnet:
. (6)
