Apérys konstant

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

I matematikken er Apérys konstant et mærkværdigt tal, der optræder i flere situationer. Det er defineret som tallet ζ(3),

$\zeta(3)=1+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \ldots$

hvor ζ er Riemanns zetafunktion. Det har værdien

$\zeta(3)=1.20205\; 69031\; 59594\; 28539\; 97381\; 61511\; 44999\; 07649\; 86292\,\ldots$

[redigér] Apérys sætning

Værdien er opkaldt efter Roger Apéry (1916 - 1994), som i 1977 beviste, at tallet var irrationalt. Dette resultat er kendt som Apérys sætning. Det oprindelige bevis er komplekst og svært at forstå, og kortere beviser er fundet siden hen ved brug af Legrendepolynomier.

Resultatet er forblevet forholdsvis isoleret: Der vides kun lidt om ζ(n) for andre ulige tal n.

[redigér] Rækkerepræsentation

I 1772 gav Leonhard Euler rækkerepræsentationen

$\zeta(3)=\frac{\pi^2}{7} \left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right],$

som siden er blevet genopdaget adskillige gange, bl.a. af Ramaswami i 1934.

Simon Plouffe gav adskillige rækker, der er betydningsfulde, idet de kan bruges til at give flere tals præcision pr. iteration. Heriblandt er de følgende:

$\zeta(3)=\frac{7}{180}\pi^3 -2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)}$

$\zeta(3)= 14 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sinh(\pi n)} -\frac{11}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)} -\frac{7}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} +1)}$

Man har desuden fundet mange andre rækkerepræsentationer; herunder:

$\zeta(3) = \frac{8}{7} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3}$

$\zeta(3) = \frac{4}{3} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k+1)^3}$

$\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{(n!)^2}{n^3 (2n)!}$

$\zeta(3) = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{56n^2-32n+5}{(2n-1)^2} \frac{((n-1)!)^3}{(3n)!}$

$\zeta(3)=\frac{8}{7}-\frac{8}{7}\sum_{t=1}^\infty \frac{{\left( -1 \right) }^t\,2^{-5 + 12\,t}\,t\, \left( -3 + 9\,t + 148\,t^2 - 432\,t^3 - 2688\,t^4 + 7168\,t^5 \right) \, {t!}^3\,{\left( -1 + 2\,t \right) !}^6}{{\left( -1 + 2\,t \right) }^3\, \left( 3\,t \right) !\,{\left( 1 + 4\,t \right) !}^3}$

$\zeta(3) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{205n^2 + 250n + 77}{64} \frac{(n!)^{10}}{((2n+1)!)^5}$

$\zeta(3) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{P(n)}{24} \frac{((2n+1)!(2n)!n!)^3}{(3n+2)!((4n+3)!)^3}$

hvor

$P(n) = 126392n^5 + 412708n^4 + 531578n^3 + 336367n^2 + 104000n + 12463.\,$

Nogle af disse er brugt til at beregne Apérys konstant med flere millioner decimaler.

[redigér] Andre formler

Apérys konstant kan udtrykkes ved hjælp af en andetordens polygammafunktion som

$\zeta(3) = -\frac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1).$

[redigér] Referencer

V. Ramaswami, Notes on Riemann's ζ-function, (1934) J. London Math. Soc. 9 pp. 165-169.
Roger Apéry, Irrationalité de ζ(2) et ζ(3), (1979) Astérisque, 61:11-13.
Alfred van der Poorten, A proof that Euler missed. Apéry's proof of the irrationality of ζ(3). An informal report.,(1979) Math. Intell., 1:195-203.
Simon Plouffe, Identities inspired from Ramanujan Notebooks II, (1998)
Simon Plouffe, Zeta(3) or Apery constant to 2000 places, (undated).
Xavier Gourdon & Pascal Sebah, The Apéry's constant: z(3)