Costante di Apery

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In matematica per costante di Apéry si intende un curioso numero che si incontra in una grande varietà di situazioni. Essa è definita come un particolare valore assunto dalla funzione zeta di Riemann, ζ(3),

$\zeta(3)=1+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \ldots$

Per il suo valore in forma decimale si trova

$\zeta(3)=1.20205\; 69031\; 59594\; 28539\; 97381\; 61511\; 44999\; 07649\; 86292\,\ldots$

[modifica] Teorema di Apéry

La costante prende il nome da Roger Apéry (1916-1994), che nel 1977 ha dimostrato che essa è un numero irrazionale. Questo risultato prende il nome di teorema di Apéry. La dimostrazione originale è complessa e non è facile coglierne le linee; negli anni successivi sono state trovate dimostrazioni più brevi che si servono dei polinomi di Legendre.

Questo risultato è rimasto del tutto isolato: in effetti si sa ben poco dei valori ζ(n) per altri argomenti interi dispari n.

[modifica] Rappresentazione mediante serie

Nel 1772 Eulero ha fornita la rappresentazione mediante serie

$\zeta(3)=\frac{\pi^2}{7} \left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right]$

che successivamente è stata riscoperta e ridimostrata varie volte, in particolare da Ramaswami nel 1934.

Simon Plouffe ha fornito parecchie altre serie che hanno il pregio di convergere rapidamente, cioè di garantire varie nuove cifre sicure con ciascuna nuova somma parziale. Tra queste rappresentazioni vi sono le seguenti:

$\zeta(3)=\frac{7}{180}\pi^3 -2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)}$

$\zeta(3)= 14 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sinh(\pi n)} -\frac{11}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)} -\frac{7}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} +1)}$

Relazioni simili per i valori della zeta in corrispondenza di argomenti dispari $ζ(2 n + 1)$ sono presentati nell'articolo costanti zeta.

Molte altre rappresentazioni mediante serie sono state trovate: tra di queste ricordiamo:

$\zeta(3) = \frac{8}{7} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3}$

$\zeta(3) = \frac{4}{3} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k+1)^3}$

$\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{(n!)^2}{n^3 (2n)!}$

$\zeta(3) = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{56n^2-32n+5}{(2n-1)^2} \frac{((n-1)!)^3}{(3n)!}$

$\zeta(3) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{205n^2 + 250n + 77}{64} \frac{(n!)^{10}}{((2n+1)!)^5}$

$\zeta(3) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{P(n)}{24} \frac{((2n+1)!(2n)!n!)^3}{(3n+2)!((4n+3)!)^3}$ ;

qui si è posto

$P(n) := 126392n^5 + 412708n^4 + 531578n^3 + 336367n^2 + 104000n + 12463.\,$

Alcune di queste rappresentazioni sono state usate per calcolare la costante di Apéry con molti milioni di cifre.

[modifica] Riferimenti

V. Ramaswami (1934): Notes on Riemann's ζ-function J. London Math. Soc. 9 pp. 165-169.
Roger Apéry (1979): Irrationalité de ζ(2) et ζ(3), Astérisque, 61:11-13.
Alfred van der Poorten (1979): A proof that Euler missed. Apéry's proof of the irrationality of ζ(3). An informal report., Math. Intell., 1 pp. 195-203.
Simon Plouffe (1998): Identities inspired from Ramanujan Notebooks II
Simon Plouffe (senza data): Zeta(3) or Apery constant to 2000 places
Xavier Gourdon, Pascal Sebah: The Apéry's constant: z(3)
Apéry's constant in PlanetMath