相继式

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在证明论中，相继式是对在规定演绎的演算的时候经常用到的可证明性的形式陈述。

[编辑] 解释

相继式有如下形式

$\Gamma\vdash\Sigma$

这里的 Γ 和 Σ 二者是逻辑公式的序列(就是说公式的数目和出现次序都是重要的)。符号 $\vdash$ 通常被称为十字转门(turnstile)或 T 型符号(tee)，并经常被读做"产生"或"证明"。它不是语言中的符号，而用来讨论证明的元语言中的符号。在相继式中，Γ 叫做相继式的前件(antecedent)而 Σ 叫做相继式的后继(succedent)。

[编辑] 直觉意义

上面给出的那种相继式的直觉意义是在假定了 Γ 推出 Σ 是可证明的之下的。在经典的情形下，在十字转门左面的公式按合取解释，而右面的公式按析取解释。这意味着当在 Γ 中的所有公式成立的时候，在 Σ 中至少有一个公式必定是真的。如果后继为空，则按虚假解释，就是说 $\Gamma\vdash$ 意味着 Γ 证明了虚假，并且因此是矛盾的。在另一方面，空前件被假定为真，就是说 $\vdash\Sigma$ 意味着 Σ 没有任何假定就成立，也就是说，它总是真(作为一个析取式)，而且因此是一个断言。

但是上述解释只用于教学目的。因为在证明论中的形式证明是纯粹的语法上的，相继式的语义只由提供实际的推理规则的演算的性质给出。

剥离在上面的技术性精确定义中的任何矛盾，我们可以按它们的介绍性的逻辑形式来描述相继式。 $Γ$ 表示我们开始逻辑处理时做的假定的集合，例如 "苏格拉底是人" 和 "所有人都是必死的"。 $Σ$ 表示从这些前提得到的逻辑结论。例如，我们希望在十字转门的 $Σ$ 端见到 "苏格拉底是必死的"。在这个意义上， $\vdash$ 意味着推理过程，或者英语中的"所以"。

我们对这些符号指派的意思是有所助益的。规则自身按机械性本质来运做而不承载潜在的意义。这个主题的详情请参见哥德尔不完备定理。

[编辑] 例子

一个典型的相继式:

$\phi,\psi\vdash\alpha,\beta$

它声称要么 $α$ 要么 $β$ 可以推导自 $φ$ 且 $ψ$ 。

[编辑] 性质

因为在(左边的)的前件中的所有公式都必须为真来获得在(右边的)后继中至少一个公式为真，向任何一端增加公式都导致一个更弱的相继式，而从任何一端去除公式都得到更强的相继式。

[编辑] 规则

多数证明系统都提供从一个相继式到另一个相继式的演绎方式。这些规则都写成在横线上下的相继式列表。这些规则指示如果在横线上的所有相继式都为真，则在横线之下的也都为真。

一个典型的规则是:

$\frac{\Gamma\vdash\Sigma}{\begin{matrix} \Gamma,\alpha\vdash\Sigma & \alpha,\Gamma\vdash\Sigma \end{matrix}}$

这指示了如果我们可以演绎 $Σ$ 自 $Γ$ ，则我们也可以演绎它自 $Γ$ 和 $α$ 一起。

注意我们通常使用大写的希腊字母来指称(可能为空)公式的列表。 $[Γ,Σ]$ 被用来指示 $Γ$ 和 $Σ$ 的紧缩，就是说，这些出现在要么 $Γ$ 要么 $Σ$ 中但不重复的那些公式的列表。

[编辑] 变体

这里介绍的相继式的一般概念能以各种方式特殊化。一个相继式被称为是直觉相继式，如果在后继中有最多一个公式。这种形式是获得直觉逻辑的演算是需要的。类似的，你可以通过要求相继式在前件中只有一个公式来获得双直觉逻辑(某种次协调逻辑)的演算。

在很多情况下，相继式还假定由多集或集合组成。所以你可以漠视公式的次序甚至数目。对于经典命题逻辑这不导致问题，因为你能从一组前提中得出的结论不依赖于这些数据。但是在亚结构逻辑中这就变得很重要了。

一些系统只允许在右边有一个公式。

[编辑] 历史

历史上，相继式是 Gerhard Gentzen 介入用来规定他著名的相继式演算。在他的德语出版物中他使用了单词 "Sequenz"。但是，在英语中，单词"序列" 已经用来翻译德语的 "Folge" 并在数学中经常出现。术语"相继式"被建立用做这个德语表达的替代翻译。

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