欧拉特征数

维基百科，自由的百科全书

在代数拓扑中，欧拉特征数(Euler characteristic)是一个拓扑不变量（事实上，是同伦不变量），对于一大类拓扑空间有定义。它通常记作 $χ$ 。

二维拓扑多面体的欧拉特征数可以用以下公式计算：

χ = V - E + F

其中F,E和V分别是面，边和点的个数。特别的有，对于所有和一个球面同胚的多面体，我们有

χ(S 2) = F - E + V = 2.

例如，对于立方体，我们有6 − 12 + 8 = 2 而对于四面体我们有 4 − 6 + 4 = 2. 刚才的公式也叫做欧拉公式.

[编辑] 定义及性质

对于有限CW-复形(CW-Complex)包括有限单纯复形(simplicial complex),欧拉特征数可以定义为交错和

$\chi=k_0-k_1+k_2-\cdots,$

其中 $k i$ 表示 $i$ 维胞腔的个数。

然后，可以把流形的欧拉特征数定义为一个和它同胚的单纯复形的欧拉特征数。例如，圆圈和环面其欧拉特征数为0而实心球欧拉特征数为1。

闭可定向曲面的欧拉特征数可以通过它们的亏格g来计算

χ = 2 - 2 g

闭不可定向曲面的欧拉特征数可以用下式通过它们的(不可定向)亏格k来计算

χ = 2 - k

欧拉特征数和三角化的选择无关。公式也可用于到任意多边形的分解。

对于圆盘，我们有 $χ = 1$ , 对于平面我们有 $χ = 2$ , 数的时候把外面作为一个面。

对于闭流形，欧拉特征数和’’’欧拉数’’’,也就是其切丛的在流形的基本类上计算的欧拉类。

对于闭黎曼曲面，欧拉特征数也可以通过曲率的积分得到—参看对于二维情况的高斯-博内定理(Gauss-Bonnet)和对于一般情况的推广高斯-博内定理。高斯-博内定理的离散情况的对应是笛卡儿定理，它表明多面体用完整圆圈测量的”总缺陷” ，是多面体的欧拉特征数；参看缺陷 (几何)。

更一般的，对于所有拓扑空间，我们可以定义第nth Betti数 $b n$ 作为第n 同调群的阶。欧拉特征数可以定义为如下交换和

$\chi=b_0 - b_1 + b_2 - b_3 +\, \cdots.$

这个定义在Betti数全都有限并且在一个特定指标 $n 0$ 以外为0时有意义。

两个同伦的拓扑空间有同构的同调群，所以有相同的欧拉特征数。

从这个定义和庞加莱对偶性，可以得到所有闭合奇数维流形的欧拉数为0的结论。

如果M和N是拓扑空间，则它们的积空间 M × N的欧拉特征数为

$\chi(M \times N) = \chi(M) \cdot \chi(N)$ .

[编辑] 偏序集

有界偏序集(partially ordered set,简称poset)的欧拉特征数的概念是另一种推广，在组合论中很重要。一个偏序集“有界”，如果它有最小和最大元素，我们把它们叫作0和1。这样一个偏序集的欧拉特征数是μ(0,1), 其中μ 是在偏序集的相交代数(incidence algebra)中的默比乌斯函数。