Эйлерова характеристика
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
В алгебраической топологии, эйлерова характеристика есть топологический инвариант (и даже гомотопический инвариант) определённый на большом классе топологических пространств. Обычно эйлерова характеристика пространства X обозначается χ(X).
Эйлерова характеристика двумерных топологических полиэдров может быть посчитана по формуле: χ = Γ - P + B где Г, Р и В суть числа граней, рёбер и вершин соответственно. В частности, для любого выпуклого многогранника верна так называемая формула Эйлера:
- Γ - P + B = χ(S2) = 2.
Например, для куба 6 − 12 + 8 = 2 и для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.
[править] Определения и свойства
Для конечного клеточного комплекса (в частности для конечного симплициального комплекса) эйлерова характеристика может быть определена как знакопеременная сумма
- χ = k0 - k1 + k2 - ...,
где ki обозначает число клеток размерности i.
В частности можно определить эйлерову характеристику замкнутого многообразия как эйлерову характеристику гомеоморфного симплекциального комплекса. Например окружность и тор имеют характеристику 0, а шар имеет характеристику 1.
Эйлерова характеристика сферы с g ручками равна 2 - 2g.
Согласно формуле Гаусса—Бонне, эйлерова характеристика замкнутой поверхности S равна
-
χ(S) = ∫ K S
где K обозначает гауссову кривизну. Обобщённая формула Гаусса—Бонне даёт похожую формулу для произвольных замкнутых римановых многообразий. Существует также дискретный аналог теорема Гаусса-Боне, гласящий что эйлерова характеристика равна сумме дефектов полиэдра делённой на 2π.
Эйлерова характеристика произвольного топологического пространства может быть определена через числа Бетти bn как знакопеременная сумма:
Это определение имеет смысл только если все числа Бетти конечны и обнуляются для всех достаточно больших индексов. Если два пространства гомотопически эквивалентны то их числа Бетти совпадают, а таким образом и эйлеровы характеристики совпадают. Последнее определение обобщает предыдущее и обобщается на другие гомологии с произвольными коэффициентами.
[править] Ссылки
- Долбилин Н., Три теоремы о выпуклых многогранниках, Квант, № 5, 2001.
- Шашкин Ю. А. Эйлерова характеристика. Популярные лекции по математике, Выпуск 58, М., "Наука" 1984 г.
