冯·诺伊曼全集
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在集合论和有关的数学分支中,冯·诺伊曼全集或冯·诺伊曼集合层次是分解到个体集合的超限等级中的所有集合的类。
它可以用超限归纳法定义为如下:
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- 最后,设 V 是所有 V-阶段的并集:
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- .
等价的说,对于任何序数 α,设 ,这里的 是 X 的幂集。
[编辑] V 和集合论
如果 ω 是自然数的集合,则 Vω 是继承有限集合的集合,它是不带有无穷公理的集合论的模型。Vω+ω 是普通数学的全集。它是 Zermelo 集合论的模型。如果 κ 是不可及基数,则 Vκ 是 Zermelo-Fraenkel 集合论自身的模型,而 Vκ+1 是 Morse–Kelley 集合论的模型。
注意所有个体阶段 Vα 都是集合,但是它们的并集 V 是真类。在 V 中的集合叫做继承良基集合;基础公理要求所有集合是良基的而因此是继承良基的。(其他公理系统,忽略基础公理,或替代它为强否定的公理如 Aczel 的反基础公理,是可能的但很少被用到)。
给定任何集合 A,使得 A 是 Vα 的子集的最小的序数 α 是 A 的阶(或继承等级)。
[编辑] 哲学观点
有两种不同的方式来理解冯·诺伊曼全集 V 和 ZFC 的联系。粗略的说,形式主义者想把 V 看作是从 ZFC 公理推出的某种东西(例如,ZFC 证明了所有集合在 V 中)。在另一方面,现实主义者想把冯·诺伊曼全集看作从直觉可直接触及的某种东西,而把 ZFC 公理看作在我们可以直接用自然语言讨论的在 V 中为真的命题。一个可能的中间立场是冯·诺伊曼层次的精神化身提供给 ZFC 公理一个动机(所以它们不是任意性),但是不必需描述真实存在的对象。
[编辑] 参见
- 冯·诺伊曼
- 可构造全集
- 不可及基数