正规公理

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正规公理(也叫做基础公理)是 Zermelo-Fraenkel 集合论的公理之一。在一阶逻辑中，这个公理读做:

$\forall A,\exists x: (\exists z: z \in A) \implies (x \in A \land (\lnot \exist y: y \in A \land y \in x))$

换句话说:

所有非空集合 A 包含一个元素 x 它不相交于 A。

$\forall A,\exists x \in A : A \neq \varnothing \implies x \cap A = \varnothing$

从这个公理得出两个结果，其一为“没有集合是自身的元素”，其二为“没有无限序列 a_n 使得对于所有 i，a_i+1 是 a_i 的元素”。

通过选择公理，这个结果是可逆的: 如果没有这种无限序列，则正规公理为真。所以两个陈述是等价的。

正规公理被争论为Zermelo-Fraenkel 集合论中最少用处的成分，因为数学分支中的所有关键性结果都基于缺席这种正规性的集合论。此外忽略正规公理，非标准集合论实际上假定了是自身的元素的集合的存在。

[编辑] 良基性

在 1917 年，Dmitry Mirimanov(也拼写为 Mirimanoff)介入了良基性概念:

一个集合 x₀ 是良基的，当且仅当它没有无限递减成员关系序列:

· · · $\in x_2 \in x_1 \in x_0.$

在 ZFC 中通过正规公理而没有无限递减 ∈序列。实际上，正规公理经常叫做基础公理，因为可以证明 ZFC- (没有正规公理的 ZFC)中良基性蕴涵了正规性。

[编辑] 基本蕴涵

没有集合是自身的元素

设 A 是一个集合，使得 A 是自身的一个元素，并定义 B = {A}，它是通过配对公理得到的集合。应用正规公理于 B，我们见到 B 的唯一元素，也就是 A，必须不相交于 B。但是 A 和 B 的交集就是 A。所以 B 不满足正规公理并得到一个矛盾，这证明了 A 不存在。

没有无限递减的集合序列存在

设 f 是自然数的函数，对每个 n，f(n+1) 都是 f(n) 的一个元素。定义 f 的值域 S = {f(n): n 是自然数}，在函数的形式定义上可以被看做是一个集合。应用正规公理于 S，设 f(k) 是 S 的一个元素，它不相交于 S。但是通过 f 和 S 的定义，f(k) 和有 S 有一个公共元素(就是 f(k+1))。这是个矛盾，所以没有这样的 f 存在。

注意这个论证只适用于是集合(不是不可定义的类)的 f。继承有限集合 V_ω 满足正规公理。所以如果你形成了一个非平凡的超能力的 V_ω，则它也将满足正规公理。但是它将包含无限递减的元素序列。例如，假定 n 是非标准自然数，则 $(n-1) \in n$ 和 $(n-2) \in (n-1)$ 等等，对于任何实际的自然数 k 有 $(n-k-1) \in (n-k)$ 。所以这是个不终结的递减的元素序列。但是这个序列在这个模型中是不可定义并因此不是集合。所以没有对于正规公理的矛盾是可以证明的。

假定选择公理，没有无限递减的集合序列蕴涵正规公理

设非空集合 S 是正规公理的反例；就是说 S 的所有元素都与 S 有非空交集。设 g 是 S 的选择函数，就是说对于 S 的每个非空子集 s，g(s) 是 s 的一个元素的映射。现在递归的定义在非负整数上的函数为如下:

$f(0) = g(S)\,\!$

$f(n+1) = g(f(n) \cap S).\,\!$

那么对于每个 n，f(n) 是 S 的一个元素，并且因此它与 S 的交集是非空的，所以 f(n+1) 是良好定义的，并且是 f(n) 的一个元素。所以 f 是无限递减链。这是一个矛盾，所有没有这样 S 存在。

确使有序对 (a,b) 可定义为 {a,{a,b}}

这个定义消除了 Kuratowski 规范定义 (a,b) = {{a},{a,b}} 中的一对花括号。

[编辑] 常见误解: 罗素悖论和正规公理

罗素悖论是通过构造“不包含自身作为成员的所有集合的集合”而得出的悖论，它导致了在朴素集合论内的矛盾。因为正规公理蕴涵了没有集合包含自身作为成员，这诱惑非专业人士认为在 Zermelo-Fraenkel 集合论(ZF)中这个公理的存在与解决罗素悖论有关。实际上，罗素悖论的矛盾是通过在 ZF 中限制分离公理的能力来避免的(比较于朴素集合论)。事实上，只能通过从一个理论中弱化或去除公理来消除矛盾；向一个理论增加正规公理(或其他公理)只会更有可能遇到矛盾。正规公理与解决罗素悖论无关。

在 Mary Tiles 的《集合论的哲学》中犯了同样的错误，他在其中争论说“基础公理在防止出现集合论悖论中扮演了关键性角色，对于在罗素悖论中有问题的集合，不属于自身的集合的集合可以证明不存在。没有 ZF 集合属于自身，所以所有不属于自身的集合的集合可以证明不存在”。正好相反，证实没有集合属于自身只意味着罗素集合(如果存在的话)将是空集，而不是不存在。进一步的，证明罗素集合不存在与使它存在的证明无效不是一件事情。事实上，如果你可以证明这二者，则你就有了一个矛盾而你的理论就成为平凡的(所有公式都是定理)、无意义的、和虚假的。

[编辑] 外部链接

http://www.trinity.edu/cbrown/topics_in_logic/sets/sets.html contains an informative description of the axiom of regularity under the section on Zermelo-Fraenkel set theory.

来自“http://zh.wikipedia.org../../../%E6%AD%A3/%E8%A7%84/%E5%85%AC/%E6%AD%A3%E8%A7%84%E5%85%AC%E7%90%86.html”

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