估计理论

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估计理论是统计学和信号处理中的一个分支，主要是通过测量(或经验)数据来估计概率分布参数的数值。这些参数描述了实质情况或实际对象，它们能够回答估计函数提出的问题。例如,估计投票人总体中,给特定候选人投票的人的比例.这个比例是一个不可观测的参数(因为投票人总体很大);估计值建立在投票者的一个小的随机采样上.

又如,雷达的目的是物体(飞机，船等)的定位.这种定位是通过分析收到的回声（回波）来实现的.定位提出的问题是"飞机在哪里?".为了回答"飞机在哪里?"，必须估计飞机到雷达之间的距离.如果雷达的绝对位置是已知的,那么飞机的绝对位置也是可以确定的.

在估计理论中,通常假定信息隐藏在包含噪声的信号中.噪声增加了不确定性.如果没有不确定性，那么也就没有必要估计了.

[编辑] 使用估计理论的领域

有非常多的领域使用参数估计理论。这些领域包括（当然不局限于以下列出的领域）:

信号处理
- CAT
- 脑电图
- 心电图
- MRI
- 医学超声波扫描术
- 雷达, 声纳, Seismology - Localization of objects
- 噪声方差
- 参数化(e.g., 周期图, 相关图)谱分析
- 非参数化 (e.g., MUSIC, Root-MUSIC, ESPRIT)谱分析
- 维纳滤波
- Particle filter

临床试验
民意调查
质量控制
通讯
- 信道参数
- DC 增益 (请看下边的例子)
控制理论
- 卡尔曼滤波
- 随时间改变的执行器(英文Actuator)
网络入侵侦查系统

测量参数包含噪声(或者其他不确定性).通过统计概率,可以求得最优化的解，用来从数据中提取尽可能多的信息.

[编辑] 估计过程

估计理论的全部目的都是获取一个估计函数，最好是一个可以实现的(implementable)估计函数.估计函数输入测量数据,输出相应参数的估计.

我们通常希望估计函数能最优.一个最优的估计意味着所有的信息都被提取出来了;如果还有还有信息没有提取出来,那就意味着它不是最优的.

一般来说,求估计函数需要三步:

为了实现一个预测单个或者多个参数的所期望的估计器，首先需要确定系统的模型。这个模型需要将需要建模的过程以及不确定性和和噪声融合到一起，这个模型将描述参数应用领域的物理场景。
在确定模型之后，需要确定估计器的限制条件。这些限制条件可以通过如Cramér-Rao inequality这样的方法找到。
下一步，需要开发一个估计器或者应用一个已知的对于模型有效的估计器。这个估计器需要根据限制条件进行测试以确定它是否是最优估计器，如果是的话，它就是最好的估计器。
最后，在估计器上运行试验或者仿真以测试性能。

当实现一个估计器之后，实际的数据有可能证明推导出估计器的模型是不正确的，这样的话就需要重复上面的过程重新寻找估计器。

不能实现的估计器需要抛弃，然后开始一个新的过程。

总的来说，估计器根据实际测量的数据预测物理模型的参数。

[编辑] 基础

为了建立一个模型，需要知道几项统计“因素”。为了保证预测在数学上是可以追踪的而不是仅仅基于“内心感受”来说这是必需的。

第一个是从大小为 $N$ 的随机矢量中取出的统计采样，将它们放到一个矢量中，

$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x[0] \\ x[1] \\ \vdots \\ x[N-1] \end{bmatrix}$ .

第二，有相应的 $M$ 参数

$\mathbf{\theta} = \begin{bmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \\ \vdots \\ \theta_M \end{bmatrix}$ ,

它需要根据概率密度函数（pdf）或者概率聚集函数（:en:probability mass function）（pmf）建立

$p(\mathbf{x} | \mathbf{\theta})$ .

参数本身还可能有一个概率分布（Bayesian statistics），需要定义epistemic probability

$\pi( \mathbf{\theta})$ .

模型形成之后的目标就是预测参数，通常表示为 $\hat{\mathbf{\theta}}$ ，其中“hat”表示预测值。

一个普通的估计器是最小均方误差（MMSE）估计器，它利用了参数估计值与实际值之间的误差

$\mathbf{e} = \hat{\mathbf{\theta}} - \mathbf{\theta}$

作为优化的基础。在最小均方误差估计器中误差进行取平方、最小化。

[编辑] 估计函数(估计子)

以下是一些相关的估计函数以及相关的主题

最大似然估计
Method of moments estimators
Cramér-Rao inequality
最小均方差（Minimum mean squared error）(MMSE)
最大后验概率 (MAP)
最小方差非偏估计(Minimum variance unbiased estimator)(MVUE)
最佳线性非偏估计 (BLUE)
非偏估计— 见偏差(统计学).
Particle filter
Markov chain Monte Carlo (MCMC)
卡尔曼滤波
维纳滤波

[编辑] 例子: 高斯白噪声中的直流增益

让我们来看一个接收到的 $N$ 个独立采样点的离散信号 $x [n]$ ，它由一个直流增益 $A$ 和已知方差为 $σ 2$ （例如， $\mathcal{N}(0, \sigma^2)$ ）的叠加白噪声 $w [n]$ 组成。

由于方差已经知道，所以仅有的未知参数就是 $A$ 。

于是信号的模型是

$x[n] = A + w[n] \quad n=0, 1, \dots, N-1$

两个可能的估计器是：

$\hat{A}_1 = x[0]$
$\hat{A}_2 = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n]$ 它是采样平均

这两个估计器都有一个平均值 $A$ ，这可以通过代如每个估计器的期望得到

$\mathrm{E}\left[\hat{A}_1\right] = \mathrm{E}\left[ x[0] \right] = A$

和

$\mathrm{E}\left[ \hat{A}_2 \right] = \mathrm{E}\left[ \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \right] = \frac{1}{N} \left[ \sum_{n=0}^{N-1} \mathrm{E}\left[ x[n] \right] \right] = \frac{1}{N} \left[ N A \right] = A$

在这一点上，这两个估计器看起来是一样的。但是，当比较方差部分的时候它们之间的不同就很明显了。

$\mathrm{var} \left( \hat{A}_1 \right) = \mathrm{var} \left( x[0] \right) = \sigma^2$

和

$\mathrm{var} \left( \hat{A}_2 \right) = \mathrm{var} \left( \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \right) = \frac{1}{N^2} \left[ \sum_{n=0}^{N-1} \mathrm{var} (x[n]) \right] = \frac{1}{N^2} \left[ N \sigma^2 \right] = \frac{\sigma^2}{N}$

看起来采样平均是一个更好的估计器，因为方差部分 $N \to \infty$ 趋向于 0。

[编辑] 最大似然估计

使用最大似然估计器继续上面的例子，噪声在一个采样点 $w [n]$ 的概率密度函数（pdf）是

$p(w[n]) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp\left(- \frac{1}{2 \sigma^2} w[n]^2 \right)$

这样 $x [n]$ 的概率变为（ $x [n]$ 可以认为是 $\mathcal{N}(A, \sigma^2)$ ）

$p(x[n]; A) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp\left(- \frac{1}{2 \sigma^2} (x[n] - A)^2 \right)$

由于相互独立， $\mathbf{x}$ 的概率变为

$p(\mathbf{x}; A) = \prod_{n=0}^{N-1} p(x[n]; A) = \frac{1}{\left(\sigma \sqrt{2\pi}\right)^N} \exp\left(- \frac{1}{2 \sigma^2} \sum_{n=0}^{N-1}(x[n] - A)^2 \right)$

概率密度函数取自然对数

$\ln p(\mathbf{x}; A) = -N \ln \left(\sigma \sqrt{2\pi}\right) - \frac{1}{2 \sigma^2} \sum_{n=0}^{N-1}(x[n] - A)^2$

于是最大似然估计器是

$\hat{A} = \arg \max \ln p(\mathbf{x}; A)$

对数最大似然函数取一阶导数

$\frac{\partial}{\partial A} \ln p(\mathbf{x}; A) = \frac{1}{\sigma^2} \left[ \sum_{n=0}^{N-1}(x[n] - A) \right] = \frac{1}{\sigma^2} \left[ \sum_{n=0}^{N-1}x[n] - N A \right]$

并且将它赋值为 0

$0 = \frac{1}{\sigma^2} \left[ \sum_{n=0}^{N-1}x[n] - N A \right] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n] - N A$

这就得到最大似然估计器

$\hat{A} = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}x[n]$

它是一个简单的采样平均。

从这个例子中，我们发现对于带有固定未知直流增益的 AWGN 的 $N$ 个采样点来说采样平均就是最大似然估计器。

[编辑] Cramér-Rao 下限

为了找到采样平均估计器的Cramér-Rao 下限（CRLB），需要找到 Fisher information 数

$\mathcal{I}(A) = \mathrm{E} \left( \left[ \frac{\partial}{\partial\theta} \ln p(\mathbf{x}; A) \right]^2 \right) = -\mathrm{E} \left[ \frac{\partial^2}{\partial\theta^2} \ln p(\mathbf{x}; A) \right]$

从上面得到

$\frac{\partial}{\partial A} \ln p(\mathbf{x}; A) = \frac{1}{\sigma^2} \left[ \sum_{n=0}^{N-1}x[n] - N A \right]$

取二阶导数

$\frac{\partial^2}{\partial A^2} \ln p(\mathbf{x}; A) = \frac{1}{\sigma^2} (- N) = \frac{-N}{\sigma^2}$

发现负的期望值是无关紧要的（trivial），因为它现在是一个确定的常数

$-\mathrm{E} \left[ \frac{\partial^2}{\partial A^2} \ln p(\mathbf{x}; A) \right] = \frac{N}{\sigma^2}$

最后，将 Fisher information 代入

$\mathrm{var}\left( \hat{A} \right) \geq \frac{1}{\mathcal{I}}$

得到

$\mathrm{var}\left( \hat{A} \right) \geq \frac{\sigma^2}{N}$

将这个值与前面确定的采样平均的变化比较显示对于所有的 $N$ 和 $A$ 来说采样平均都是等于 Cramér-Rao 下限。

采样平均除了是最大似然估计器之外还是最小变化无偏估计器（MVUE）。

这个直流增益 + WGN 的例子是 Kay 的 统计信号处理基础中一个例子的再现。

[编辑] 相关书籍

Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory by Steven M. Kay (ISBN 0-13-345711-7)
An Introduction to Signal Detection and Estimation by H. Vincent Poor (ISBN 0-38-794173-8)
Detection, Estimation, and Modulation Theory, Part 1 by Harry L. Van Trees (ISBN 0-47-109517-6; website)

[编辑] 参见

偏差
Completeness (statistics)
检测理论
Efficiency (statistics)
Expectation-maximization algorithm (EM algorithm)
信息论
Rao-Blackwell theorem
Sufficiency (statistics)
最大似然估计
矩方法, generalized method of moments
Cramér-Rao inequality
最小均方差 (MMSE)
最大后验概率 (MAP)
Minimum variance unbiased estimator (MVUE)
Best linear unbiased estimator (BLUE)
Unbiased estimators — see bias (statistics).
Particle filter
Markov chain Monte Carlo (MCMC)
卡尔曼滤波
维纳滤波

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