维纳滤波

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维纳滤波是諾伯特·維納在二十世纪四十年代提出的一种滤波器，并在1949年出版^[1].

[编辑] 描述

与设计一个特定频率响应所用的通常滤波器设计理论不同，维纳滤波器从另外一个不同的角度实现滤波器。仅仅在频域进行滤波的滤波器，仍然会有噪声通过滤波器。维纳设计方法需要额外的关于原始信号所包含频谱以及噪声的信息，维纳滤波器具有以下一些特点^[2]：

假设：信号以及附加噪声都是已知频谱特性或者自相关和互相关的随机过程
性能标准：最小均方差
能够用标量的方法找到最优滤波器

维纳滤波器的设计目的是就是滤除按照统计方式干扰信号的噪声。

[编辑] 模型/问题的建立

假设维纳滤波器的输入信号是 $s (t)$ ，叠加噪声 $n (t)$ 。输出信号 $x (t)$ 通过滤波器 $g (τ)$ 使用下面的卷积运算得到：

x (t) = g (τ) * (s (t) + n (t))

其中

$s (t)$ 是需要估计的原始信号
$n (t)$ 是噪声
$x (t)$ 是估计出的信号（我们希望它能等同于 $s (t)$ ）
$g (τ)$ 是维纳滤波器

误差是 $e (t) = s (t + d) - x (t)$ ，方差是 $e 2 (t) = s 2 (t + d) - 2 s (t + d) x (t) + x 2 (t)$ 其中

$s (t + d)$ 是所期望的滤波器输出
$e (t)$ 是误差

根据 d 的不同，问题名称可以更换为：

如果 $d > 0$ 那么问题是预测
如果 $d = 0$ 那么问题是滤波
如果 $d < 0$ 那么问题是平滑

将 $x (t)$ 写成卷积积分： $x(t) = \int_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)\left[s(t - \tau) + n(t - \tau)\right]d\tau}$ .

计算平方误差的均值，可得

$E(e^2) = R_s(0) - 2\int_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)R_{x\,s}(\tau + d)d\tau} + \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)g(\theta)R_x(\tau - \theta)d\tau}d\theta}$

其中

$\,\!R_s$ 是 $s (t)$ 的自相关函数
$\,\!R_x$ 是 $x (t)$ 的自相关函数
$R_{x\,s}$ 是 $x (t)$ 和 $s (t)$ 的互相关函数

如果信号 $s (t)$ 和噪声 $n (t)$ 是不相关的（例如，互相关是0）那么请注意

$R_{x\,s} = R_s$
$\,\!R_x = R_s + R_n$

这个的目的是求最优的 $g (t)$ ，使得 $E (e 2)$ 最小。

[编辑] 稳态解(Stationary solution)

维纳滤波对于因果系统与非因果系统有两种不同解，如下：

[编辑] 非因果解（Acausal solution）

$G(s) = \frac{S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_x(s)}$

只要 $g (t)$ 是最优的，那么均方误差mmse简化为 $E(e^2) = R_s(0) - \int_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)R_{x,s}(\tau + d)d\tau}$

那么方程的解 $g (t)$ 就是 $G (s)$ 的双边拉普拉斯变换逆变换（inverse two-sided Laplace transform）。

[编辑] 因果解（Causal solution）

$G(s) = \frac{H(s)}{S_x^{+}(s)}$

其中

$H (s)$ 是 $\frac{S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_x^{-}(s)}$ 的拉普拉斯逆变换 positive time 解
$S_x^{+}(s)$ 是 $S x (s)$ 的拉普拉斯逆变换 positive time 解
$S_x^{-}(s)$ 是 $S x (s)$ 的拉普拉斯逆变换 negative time 解

[编辑] 非稳态解

[编辑] 参见

諾伯特·維納(Norbert Wiener)
卡尔曼滤波

[编辑] 参考书目

^ [1]: Wiener, Norbert (1949), Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series. New York: Wiley. ISBN 0262730057
^ [2]: Brown, Robert Grover and Patrick Y.C. Hwang (1996) Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering. 3 ed. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0471128392

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