Ігри диференційні

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Ігри диференціальні — напрям в теорії процесів, які описуються диференціальними рівняннями.

Диференціальні ігри мають властивості, характерні як для теорії оптимального керування, так і для теорії ігор. Безпосередньою причиною розвитку теорії диференціальних ігор стали прикладні задачі, в тому числі, військові.

Зміст

1 Приклад диференціальної гри
2 Формальне визначення диференціальної гри
3 Джерела інформації
4 Дивіться також

[ред.] Приклад диференціальної гри

Типовим прикладом задачі диференціальної гри може слугувати задача перехоплення бомбардувальника противника винищувачем. Обидва об'єкти (і винищувач, і бомбардувальник) керовані, і їхня поведінка залежить від того, яким чином діють пілоти. Однак керування знаходиться в руках різних осіб з протилежними інтересами: бомбардувальник ухиляється від зустрічі, а винищувач переслідує його.

Складність задачі керування для пілота винищувача полягає в тому, що в нього відсутня інформація про майбутнє керування противника. Він знає технічні можливості літака, знає його положення в даний момент, однак не може знати, яке рішення про своє керування прийме пілот бомбардувальника в кожний наступний момент часу. Тому його рішення має базуватись на ситуації, яка склалась до цього моменту.

[ред.] Формальне визначення диференціальної гри

Формально, в загальній формі, диференціальна гра може бути сформульована наступним чином. Є об'єкт керування, поведінка якого описується системою диференціальних рівнянь:

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = f(x, u, v)$ , (1)

де x — n-вимірний вектор з компонентами x₁, ..., x_n, а f(x, u) — n-вимірна вектор функція із компонентами f_i(x, u), i = 1, ..., n, u та v — керуючі параметри, які представляють r-вимірний та s-вимірний вектори відповідно, які можуть змінюватись на множинах U та V. Крім того, задано термінальну множину M ⊂ Eⁿ, де Eⁿ — n-вимірний простір.

Нехай вибрано дві будь які функції u(x) та v(x) так, що u(x) ∈ U, v(x) ∈ V і рівняння

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = f(x, u(x), v(x))$ (2)

має розв'язок. Тоді для кожного початкового стану визначена траєкторія x(t) системи (2) і визначений функціонал

$I(y(\cdot),\, v(\cdot);\, x^0) =$	$\int_0^{t_1} f_0(x(t), u(x(t)))$
	$v(x(t)))\,$ ,

де t₁ — перший момент часу, коли x(t) ∈ M. Якщо такий момент відсутній, то вважається, що I = + ∞. Задача теорії диференціальних ігор тепер полягає в з'ясуванні питання про те, за яких умов і для яких точок x⁰ можливо знайти такі функції u⁰(x) та v⁰(x), що

$I(u^0(\cdot),\, v(\cdot);\, x^0) \leq I(u^0(\cdot), v^0(\cdot);\, x^0)$
$\leq I(u(\cdot),\, v^0(\cdot);\, x^0)$ .

В такій постановці задачу розв'язано лише для невеликої кількості окремих випадків. Для випадку, коли множина M співпадає з всім простором, а t₁ — фіксовано, доведено існування розв'язку гри в деякому узагальненому сенсі. Для загального випадку отримані результати в припущенні деякої дискримінаційної функції другого гравця, який займається керуванням v. А саме: вважається, що приймаючи своє рішення, перший гравець знає майбутнє керування другого на деякому малому відрізку часу. В цьому випадку вдається довести, що весь простір початкових положень може бути розбито на дві області так, що виходячи із першої області, перший гравець завжди може гарантувати собі завершення гри з кінцевою ціною I. В той же час, як в точках другої області він не може собі гарантувати жодного скінченного значення ціни. Побудовано достатні умови можливості завершення гри зі скінченою ціною. Ці умови можна застосувати в основному для розв'язування задач з лінійним об'єктом керування.

[ред.] Джерела інформації

Енциклопедія кібернетики, Пшеничний Б. Н., т. 1, c. 342-343.

[ред.] Дивіться також

Диференціальне рівняння
Теорія ігор

	Статті теорії ігор
Типи ігор	антагоністичні · диференціальні · матричні · на виживання · рефлексивні · азартні · без побічних платежів · безкоаліційні · біматричні · вироджені · динамічні · з вибором моменту часу · кооперативні · на графі · на одиничному квадраті · опуклі · позиційні · прості · рекурсивні · стохастичні
Ситуації	Безвиграшна ситуація · Парадокс Бертрана (економіка) · Ситуація рівноваги
Стратегія	змішана · оптимальна · поведінки · чиста
Теореми	Максіміна принцип · Мінімаксу теорема
Ігри	Дилема в'язня