Stirlings formel

Wikipedia

Stirlings formel är en approximation för stora fakulteter, upptäckt av Abraham de Moivre, men namngiven efter James Stirling. Används exempelvis inom statistisk mekanik där n är av ordningen ∝10²³, men även för n ≥ 5 ger den acceptabel noggrannhet. Det formaliseras av

$\lim_{n \rightarrow \infty} {n!\over \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n} } = 1$

vilket ofta uttrycks som

$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}$

(Se limes, kvadratrot, π, e.) För stora n så är högerledet en god approximation för n! och går mycket snabbare och enklare att beräkna. För exempelvis 30! ger approximationen värdet 2,6451 · 10³² medan det verkliga värdet är 2,6525 · 10³².

Men det kan även uttryckas som

$\ln n = n\ln n - n +\frac{1}{2} \ln n + \frac{1}{2} \ln (2\pi) + O(\frac{1}{N}),$

eller om n >> ln n,

ln n! = n ln n - n .

Innehåll

1 Konsekvenser
2 Konvergeringshastighet och feluppskattningar
3 Härledning
4 Historia

[redigera] Konsekvenser

Genom att använda Stirlings formel kan man visa att

$n^n \ge n! \ge \left(\frac{n}{2}\right)^\frac{n}{2}.$

[redigera] Konvergeringshastighet och feluppskattningar

Konvergenshastigheten av ovanstående gränsvärde uttrycks med formeln

$n! = \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}\left(1 + \Theta\left(\frac{1}{n}\right)\right)$

där Θ(1/n) betecknar funktionen vart asymptotiska beteende för n→∞ och motsvarar konstant tid 1/n; se Big O notation.

Mer exaktare med:

$n! = \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}e^{\lambda_n}$

där

$\frac{1}{12n+1} < \lambda_n < \frac{1}{12n}$

[redigera] Härledning

Formeln liksom dess feluppskattning kan härledas genom följande argument. Istället för att approximera n! kan den naturliga logaritmen ln(n!) = ln(1) + ln(2) + ... + ln(n) betraktas. Euler-Maclaurins formeln uppskattar summor av dessa slag. Nästa steg är sedan att visa approximeringsformeln (i dess logaritmiska) form

$\ln n! \approx \left(n+\frac{1}{2}\right)\ln n - n +\ln\left(\sqrt{2\pi}\right).$

[En mer informell härledning baseras på att byta ut summan med en integral
$\ln (n!) = \sum_{p = 1}^{n}\ln p \rightarrow \int_{1}^{n} \ln p\, dp = n\ln n -n + 1$ ].