Omegakonstanten
Wikipedia
Omegakonstanten är den matematiska konstanten
där W betecknar Lamberts W-funktion.
Innehåll |
[redigera] Karakterisering
Eric Weisstein beskriver omegakonstanten som exponentialfunktionens motsvarighet till det gyllene snittet, då den bland annat uppfyller följande ekvivalenta identiteter:
där e betecknar Eulers tal och ln betecknar den naturliga logaritmen.
[redigera] Irrationalitet och transcendens
Omegakonstanten är ett irrationellt tal, vilket följer av att e är transcendent. Om Ω kunde skrivas som ett rationellt tal p/q skulle gälla att
![e = \sqrt[p]{\frac{q^q}{p^q}}](../../../math/5/f/d/5fd7ff5ffff957d4bce919c317b2914b.png)
och därmed att e är algebraiskt, en motsägelse. Att Ω även är transcendent följer av Lindemann–Weierstrass sats: om den vore algebraisk skulle eΩ och därmed även
vara transcendent, vilket motsäger det ursprungliga antagandet.
[redigera] Beräkning
Ω kan beräknas genom att välja en lämplig uppskattning Ω0 och sedan utföra iterationen
som konvergerar mot Ω då n går mot oändligheten, om än relativt långsamt. En mer effektiv iteration är
som konvergerar kvadratiskt.
[redigera] Integraler
En integral för omegakonstanten är
Jämförelsevis är
ett exempel på att komplexiteten hos värdet av en definit integral är svår att förutsäga.
[redigera] Källor
- Eric Weisstein, "Omega Constant", MathWorld
- Gérard Michon, "Numerical Constants"
- Victor Moll, "Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals", MAA Short Course on Experimental Mathematics
